Sous-espace Vectoriel

[daleny]

Bonjour, bon voila je suis un peu largué en algebre et du coup j'ai un peu de mal a faire cet exercice !

Soit ou a est un parametre réel donné.
1. Montrer que est un ss-espace vetoriel de .

2. Résoudre le systeme linéaire :

| ax+y+a²z = 0
| x+ay+z=0

3. Dans chacun des cas précédents, extraire une base de et préciser la dimension du sous-espace vectoriel

Je pense pas qu'il y est de probleme pour la question 2, mais c'est surtout pour la 1 et la 3 que j'aurais besoins d'aide.
Merci

[girdav]

Salut,
pour la question 1 il suffit de considérer un quelconque et de montrer que est stable par combinaisons linéaires.
Ça t'avance?

[barbu23]

Bonsoir : :happy3:
n'est autre que l'intersection de deux hyperplans , à toi de les exhiber, et comme le sait tout le monde, l'intersection fini d'hyperplans est un sous espace vectoriel ! Donc, je t'invite d'abord à relire un cours sur les hyperplans , et voir d'abord, à quoi ils ressemblent ! ils ressemblent birèvement, au noyau de formes linéaires ! :happy3:

[barbu23]

Pour , il suffit de faire disparaitre une variable de ton système à deux equation ( Par exemple, on veut faire disparaitre , donc, tu multiplies la deuxième eqsuation par ensuite, tu soustrais la première equation de la seconde , tu auras une equation à deux variables, tu ecris l'une en fonction de l'autre , tu obtiens par exemple : , tu montes à la première equation du système, tu remplaces par sa valeur : , et tu obtiens une equation à deux variables et , et tu l'ecris comme ça : !
Et voilà ! L'ensemble des solution du système et le triplet :
, en rempalcant par , et par dans le triplet ! et voilà ! l'ensemble des solutions est : .
:happy3:

[daleny]

Salut ! Et merci pour vos réponse, mais je ne connais pas les Hyperplan et pas les noyaux !!!
Par contre le coup de la stabilité pour les combinaisons linéaires, ça je connais.
Le probleme c'est que je ne sais pas trop comment faire !

[Sylviel]

LA stabilité par CL c'est vraiment très simple : tu prends (x,y,z) qui vérifie tes équations, (x',y',z') idem, et tu montres que lambda*(x,y,z)+mu*(x',y',z') vérifie tes équations. Attention il faut aussi signaler que tu vas montrer qu'il s'agit d'un sous espace d'un espace vectoriel connu.

[barbu23]

D'accord, la methode de Girdav est aussi sympas :
Un petit rappel de cours :
Soit un -espace vectoriel de dimension :
Donc, les elements de sont des triplets tels que
Soit une partie de .
Pour que soit un sous espace vectoriel de il faut verifier les trois assertions suivantes :

:
:

Alors, tu appliques cette definition à ton problème ! :happy3:

[barbu23]

Si tu as des questions n'hesite pas ! :happy3:

[daleny]

Je n'y arrive pas !
J'ai posé u(x,y,z) et v(x',y',z') avec
et
et j'essaie d'arriver a résoudre l'égalité présenté par la définition de en me servant du fait que , mais je ne trouve rien !!!

[Sylviel]

Heu, comment dire, est-ce que tu as remplacé dans l'équation les x, y, z par la valeur de ta combinaison linéaire ? Cela me semble assez évident tout de même...

[barbu23]

D'accord : :happy3:
Tu as :

Soient : : :happy3:
Alors :

et

Tu additionnes ces deux equations çi dessus, tu obtiens : :happy3:

c'est à dire :

c'est y à dire : :happy3:
( ça veut dire que ce triplet verifie les équations qui se trouvent à l'interieur de )
Par conséquent : :happy3:

car :
:happy3:
Si tu as des question n'hesite pas ! dès que tu comprennes le principe, celà va te paraitre simple comme un jeu d'enfant ! :happy3:

[daleny]

oui exact j'avait j'e vient de refaire mes calculs et j'avais fait un petite erreur de signe :( !

d'accord donc c'est bien un sous-espace vectoriel !

Pour la question 3 comment dois-je faire !
Je ne sais pas trés bien ce qu'est la base d'un sous-espace vect !!!!
(J'ai cherché sur internet et je n'ai pas compris grand chose !)

[barbu23]

La base d'un sous espace vectoriel est la même chose que la notion de base d'espace vectoriel, car un sous espace vectoiriel est un espace vectoriel !
Bref, est une base de l'espace vectoriel de signifie que les deux conditions suivantes :
Tout element de s'écrit de manière unique en fonction des éléments de la base :
c'est à dire s'écrit comme ça : avec : ( ce sont des nombres réels ).
:

Si tu as des questions n'hesite pas !
:happy3:

[barbu23]

Pour repondre à ta question :
On a trouvé que :

Donc : a pour base à un seul élément : , donc, la dimension de est .
SI avait une base à deux éléments : par exemple :, alors la dimension de serait .
:happy3: