DM 1ere S : Trigonométrie (je ne suis plus aidée)

par **Ptite-rockeuse** » 25 Fév 2010, 16:52

[FONT=Comic Sans MS]Bonjour !
Voilà je poste ici un message car j'ai un devoir maison de mathématiques à rendre pour la rentrée (lundi 8 mars) sur la trigonométrie. Il y a deux exercices. Le premier me pose problème et il faut dire que ce chapitre me semble compliqué. D'habitude je comprends assez bien les mathématiques depuis le début de l'année, mais là, j'ai vraiment du mal à saisir. J'espère que poster cet exercice m'aidera à le faire mais aussi à comprendre la trigonométrie dans son ensemble.

Voici l'exercice :

Admettons x étant un réel positif ou nul.
1. Etablir successivement, à l'aide d'étude des variations de fonctions bien choisies, les inégalités suivantes :

a) sin x

x
b) 1-(x²/2);) cos x
c) x-(x³/6);) sin x
d) cos x

1-(x²/2)+(x;)/24)

2. Déduire de ce qui précède, pour x réel positif ou nul un encadrement :
a) de sin x par deux polynômes
b) de cos x par deux polynômes
Donner alors un minorant et un majorant de cos 0,5 et de sin 0,5

Voilà, pour l'instant je suis déjà bloquée au 1. parce qu'en réalité, je ne comprends pas ce que je dois faire.. Je peux paraître stupide, mais je me retrouve vraiment coincée.
Merci de m'expliquer comment je dois procéder afin de résoudre mon exercice, et je vous remercie aussi de l'aide que vous m'apporterez.
Bonne fin de journée à tous ![/FONT]

par **annick** » 25 Fév 2010, 17:01

Bonjour, pour la 1), étudie la fonction sin(x)-x et tu auras la réponse.

par **Ptite-rockeuse** » 25 Fév 2010, 20:03

Bonjour, merci d'avoir prêté attention à mon devoir,

J'ai fait l'étude, et je ne suis pas sure d'avoir trouvé ce qu'il fallait.
Mais je suis arrivée à cette conclusion : sin x ;) x sur l'intervalle [0;+infini]
Est-ce que j'ai bon ?
Je peux toujours fournir les détails de mon étude si nécessaire.

par **Ptite-rockeuse** » 26 Fév 2010, 13:15

Je suis coincée pour le b)

J'ai étudié les limites aux bornes de l'ensemble de définition : Sur +infini et -infini, la limite est toujours -infini.

J'ai calculé la dérivée, qui est : sin(x)-x
J'ai tracé la courbe sur ma calculatrice, j'ai vu qu'elle était croissante puis décroissante.
Mais le problème c'est que je n'arrive pas à démontrer ces variations avec la dérivée..
Je sais juste que sin(x) est positif sur [0;pi].. Qu'est-ce que j'oublie ?
Où est-ce que je m'y prends mal ?
Je suis vraiment bloquée, merci de m'aider svp :marteau:

par **Ben314** » 26 Fév 2010, 13:26

Salut,
Si tu veut continuer dans cette logique (qui me parrait trés bonne) d'études de fonction, pour trouver le signe de sin(x)-x, il te suffit d'utiliser... la question a) !!!
Je rajouterais qu'à la question a) si tu regarde le tableau de variations que tu as du faire, tu doit voir que :
sin(x)0 (ça tu l'as trouvé) mais aussi que
sin(x)>x si x<0.

P.S. De même, pour la c) tu utilisera la b) et pour la d) tu utilisera la c) et, si ça t'amuse, tu peut essayer "d'inventer" la question e) puis la f) puis la g) puis la i) ... etc...

par **annick** » 26 Fév 2010, 14:22

Bonjour Ben
tu dis que cette logique d'étude de fonction ne te parait pas bonne, mais c'est précisément ce qui est demandé de façon explicite dans l'énoncé de l'exercice.

par **Ptite-rockeuse** » 26 Fév 2010, 15:19

Au contraire, il a dit qu'elle lui semblait très bonne
J'y travaille, depuis tout à l'heure j'essaie. J'avoue que j'ai du mal.
Mais je posterai mes réponses d'ici peu de temps.

par **Ptite-rockeuse** » 28 Fév 2010, 15:09

Désolée pour mon retard, je n'ai pas pu poster mes réponses.
Pour la b), voici ce que j'ai fait :
Nous savons que f'(0) = 0, lim quand x->+infini (-x+sinx)=-infini
Pour tout x>0 f'(x);)0, donc f est décroissante
De plus f(0)=0 donc 1-(x²/2)-cosx ;) 0
Ainsi : f(1-(x²/2)-cos(x));)0 lorsque x appartient à l'intervalle [0,+infini]

Est-ce que c'est bon ?

Pour la c), x-(x³/6);) sin x nous obtenons la fonction : f(x) = x - (x³/6) - sin(x)
La dérivée est : f'(x) = 1 - (x²/2) - cos(x).
J'ai remarqué que c'était la même fonction que la b)
Nous savons qu'elle est inférieure à 0 sur l'intervalle [0;+infini]
Donc la fonction d'origine est décroissante sur ce même intervalle.
Ainsi f(x);)0 sur [0;+infini]
Alors x - (x³/6) ;) sin(x)

Est-ce que c'est bon aussi ?
J'ai peur d'avoir tout faux !

par **Ptite-rockeuse** » 01 Mar 2010, 14:01

Vous pouvez m'aider svp ?

par **Ben314** » 01 Mar 2010, 14:13

(Re)Salut, pour le b), ce que tu écrit n'est pas super super clair (en particulier, on n'a pas besoin de regarder la limite de f'(x) pour avoir son signe, on l'a directement en utilisant le a)), mais sur le principe, c'est ça.

Ta rédaction du c) me semble bien meilleure. Je reprendrais juste quelques "détails" pour clarifier :

Pour la c), x-(x³/6);) sin x nous considérons la fonction : f(x) = x - (x³/6) - sin(x)
La dérivée est : f'(x) = 1 - (x²/2) - cos(x).
J'ai remarqué que c'était la même fonction que la b)
Nous savons qu'elle est inférieure à 0 sur l'intervalle [0;+infini]
Donc la fonction f est décroissante sur ce même intervalle.
Ainsi f(x);)f(0) sur [0;+infini] car elle est décroissante.
Comme f(0)=0, cela signifie en fait que f(x);)0 sur [0;+infini]
Alors x - (x³/6) sin(x)

Grosso modo, tu n'as plus qu'a faire un "copier coller" pour les autres questions (y compris la b)) et changer quelques détails...

par **Ptite-rockeuse** » 01 Mar 2010, 14:43

Merci beaucoup !
En effet pour la b), j'ai remarqué que mes explications n'étaient vraiment pas claires. J'ai voulu observer les limites de f'(x) afin de me rendre plus précise et que ma démonstration soit vraiment utile.

Merci pour les détails rajoutés à la c), ils me semblent plus clairs.
Maintenant que je suis convaincue de ce que j'ai fait à la b) et la c) grâce à vous, je vais faire la d).

Je posterai mes réponses ce soir. Merci encore.

par **Ptite-rockeuse** » 02 Mar 2010, 15:13

Par le même raisonnement, j'ai fait la d).
Nous avons f(x) = cos(x) - 1 + (x²/2) - (x;)/24)
Donc f'(x) = -sin(x) + x - (x³/6)
Nous remarquons que c'est la même formule que la fonction du c).
Grâce à son étude nous savions qu'elle était négative sur l'intervalle [0;+infini]
Donc f(x) ;) 0 sur [0;+infini] (et également décroissante).
Ainsi : cos(x) ;) 1 - (x²/2) + (x;)/24)
Ce qu'il fallait démontrer

Je n'ai pas utilisé les détails que tu m'as donné pour démontrer correctement, mais je le ferai par écrit lors de la rédaction de mon devoir bien entendu, ça me sera très utile.

Est-ce que je suis sur la bonne voie ?

DM 1ere S : Trigonométrie (je ne suis plus aidée)

DM 1ere S : Trigonométrie (je ne suis plus aidée)

Qui est en ligne