Variation d'une suite exprimée par une formule de récurence

[misssakura38]

Bonjour,
j'ai un DM de 1ère S à faire pour la rentrée mais il y a un exercice que je n'arrive pas à faire, est-ce quelqu'un pourrait m'aider un peu s'il vous plaît ?

voilà l'énoncé :


La suite est définie, pour tout entier naturel , par et
On admettra que pour tout entier naturel , on a :

1) montrer que la suite est croissante.



mais déjà, je pense que le prof a fait une erreur, puisqu'il est écrit que pour tout entier naturel , on a : , et juste avant, on a :
Donc, n'est pas compris entre 1 et 3 selon la première partie de l'énoncé, et il est compris entre 1 et 3 selon la deuxième partie...
alors soit il y a une erreur, soit on ne comprends pas 0 dans les entiers naturels, mais la plupart des gens considère que le 0 en fait partie, et nous aussi on a écrit ça dans le cours donc je comprends pas trop...

Alors est-ce qu'il est quand même possible de répondre à la question malgré cette erreur ? et si oui, est-ce que vous pourriez m'expliquer un peu comment il faut s'y prendre ?

En principe, on comparais et en retranchant l'un de l'autre ou en les divisant, mais là on n'a pas , et de toute façon, je pense pas que ce soit comme ça qu'on doive faire puisque exprimer en fonction de est la dernière question de l'exercice...


Voilà, ce serait sympa si quelqu'un pouvait m'aider un peu...
merci d'avance !

[Ericovitchi]

oui dès U1 ça devient vrai que 1
Sinon oui tu fais Un+1-Un et tu montres que c'est positif quand un est entre 1 et 3 (il faudra étudier les variations de la fonction f(Un) obtenue)

[misssakura38]

oui c'est ce que je voulais faire mais je ne peux pas faire Un+1-Un puisque je n'ai pas Un... et je suis pas censée l'avoir puisque c'est dernière question de l'exercice...

[Ericovitchi]

tu le prends comme une variable
tu exprimes Un+1-Un, en remplaçant Un+1 par sa valeur en fonction de Un, tu tombe sur une fonction f(Un), tu étudies les variations de f(x) (avec x entre 1 et 3) et tu montres qu'elle est positive sur cet intervalle, tu en déduis alors que Un+1-Un>0, etc...

[misssakura38]

ah oui, en fait c'était tout simple, j suis bête...^^
j'avais l'impression qu'il fallait remplacer Un par quelque chose alors qu'il suffit de le laisser comme ça... je me complique la vie pour rien...

bon ba merci beaucoup alors !!!
à bientôt peut-être...