Coefficients binomiaux

[lapras]

Oui. Mais si c'est trop compliqué je me contenterais bien d'une minoration un peu "brutale"... (pas forcément optimale)
Dans le cas i=2, pour minimiser notre somme il faut que les n_i soient égaux (à 1 près)

[Ben314]

Si i=2, comme tu as interdit alpha_k=0, les seules valeurs possibles de alpha_k sont 1 et 2, et il n'y a qu'une seule façon d'écrire S=a+2b en ayant a+b=n donc dans ce cas, c'est vite plié.

Tu peut regarder un exemple avec i=3 ou tu as S=a+2b+3c avec a+b+c=n et où ta somme de coeff binomiaux est alors 3a+3b+c.
Il me semble qu'il est clair que pour minimiser la somme des binomiaux, on doit prendre c maxi (i.e. le plus de nk possibles égaux à i=3)

P.S. Le nombre n de alpha_k, il est fixé d'avance lui aussi ?

[lapras]

Heu les n_k ne sont pas forcément <= i ??
En fait pour i=2, si deux a_k sont espacés d'au moins 2, en les rapprochant (on ajoute 1 à l'un et on retranche 1 à l'autre) on voit que la somme diminue.

EDIT : ce qui est fixé c'est :
i
n
somme a_k

[Ben314]

Effectivement, je me gourre depuis le début (de cette troisième partie).
A ma décharge, dans ma "jeunesse", on notait uniquement avec le C et les deux symboles dans l'autre sens et je continue à m'embrouiller...

Donc, c'est le contraire, les alpha_k>=i et en conséquence, on suppose que S=somme de a_k >= n fois i

Dans ce cas, je commencerai à étudier le cas n=2, qui, à mon avis se généralise trés facilement au cas n>2 :
Pour S>2i fixé, quel k dans i..S-i minimise ?
A mon avis, c'est en prenant au milieu, mais ça nécéssite une petite vérification (en "résolvant" )
Si c'est le cas, cela prouve qu'en général, il faut prendre les alpha_k le plus possible égaux à S/n.

[lapras]

Les alpha_k sont pas forcément >=i, en fait (i parmi alpha_k) = 0 si i > alpha_k (convention "usuelle"). Désolé je suis assez imprécis.
En faisant la même méthode que pour i=2, je crois avoir prouvé qu'en gros ils étaient tous égaux. (les alpha_k)

[Ben314]

Ca ne change pas grand chose au post précédent : il faut seulement calculer le T_k correspondant à k=i-1 en plus (c'est évidement lui le plus petit des T_k avec kS-i)

Pour ton dernier post, j'ai pas regardé le T_{k+1}>T_k, mais le résultat ne me surprend absolument pas....