Je sollicite votre aide pour un exercice de devoir sur les suites. Ne pas trouver la réponse est plutôt dommageable pour la suite de l'exercice et un petit coup de main me serait donc bien bénéfique.
On a Un et Vn deux suites
Un -> U(0) = -2 ; U(n+1) = ln (1/ (2-Un) )
Vn -> V(0) = 0 ; V(n+1) = ln (1/ (2-Vn) )
On a prouvé que Un a tout ses termes dans l'intervalles [-2;0] et est croissante / On a provuqé que -2 inf ou égal à Un inf ou égal à Vn inf ou égal à V(n-1) inf ou égal à 0 quelque soit n
Soit m la fonction définie sur [0; +inf[ par m(x) = x - ln(1+x). Montrer que m croissante, calculer m(0) -> Fait
Déduire que ln (1+x) inf ou égal à x -> Fait
Vérifier que pour tout entier n : V(n+1) - U (n+1) = ln (1 + (Vn-Un)/(2-Vn) ) puis déduire que V(n+1) - U(n+1) inf ou égal à (Vn-Un)/(2-Vn)
Je remplace donc V(n+1) et U(n+1) par les ln correspondants, on obtient donc une soustraction mais je ne sais comment faire pour arriver au résultat voulu (et donc encore moins pour l'inégalité).
Une autre question à laquelle je n'arrive pas à répondre :
A partir de V(n+1) - U(n+1) inf ou égal à 1/2 (Vn-Un) prouver que Vn-Un inf ou égal à 1/2^n (V0-U0)
Voilà, pour le reste cela devrait aller, j'ai donc besoin d'éclaircies sur ces deux points
En vous remerciant d'avance, très bonne soirée
x sur [0; +oo[ ==>