Continuité de dérivé partiel

par **mathdesprez** » 24 Fév 2010, 09:15

Bonjour a tous voila mon exercice:

quelquesoit a appartenant à R, l'aplication numérique Fa définie sur R² par:

(x,y)==>Fa(x,y)= 0 si (x,y)=(0,0)

(x-xcos(y)+ay²sin(y))/(x²+y²) si (x,y)différent (0,0)
1)Montrer que Fa est continue
==> Pas besoin d'aide pour celle la elle est facile
2)Pour quel valeurs de a de la fonction numérique d(Fa)/(dx) est-elle continue sur R² ? (la dérivée partielle de Fa par rapport à x)

Pour cette 2ème question j'ai plus de mal à faire. J'ai essayé de la calculer mais après je n'aboutis pas...
Pourriez-vous m'aider?

par **Nightmare** » 24 Fév 2010, 11:53

Salut,

passage en polaire?

par **mathdesprez** » 24 Fév 2010, 13:30

J'ai essayé j'arrive au meme point...
Quelqu'un aurait une idée?

J'ai pensé aussi, est-ce que j'ai le droit de calculer la dérivé partiel par rapport à x. Puis de faire tendre (x,y) vers (0,0) puisque le probleme de continuité est en 0 sa me permettrai d'utiliser les DL .

qu'en pensez vous?

par **Nightmare** » 24 Fév 2010, 13:31

mathdesprez a écrit:
J'ai pensé aussi, est-ce que j'ai le droit de calculer la dérivé partiel par rapport à x. Puis de faire tendre (x,y) vers (0,0)

Ben oui, c'est exactement ce qu'on te demande de faire non?

par **Ben314** » 24 Fév 2010, 13:36

mathdesprez a écrit:J'ai pensé aussi, est-ce que j'ai le droit de calculer la dérivé partiel par rapport à x. Puis de faire tendre (x,y) vers (0,0) puisque le probleme de continuité est en 0 sa me permettrai d'utiliser les DL .

Je rajouterais que, normalement, dans ce genre d'exo, tu doit aussi calculer "a la main" (c'est à dire avec la définition et les limites) la valeur (si elle existe) de df/dx(0,0) pour vérifier que la limite dont tu parle au dessus est bien égale à df/dx(0,0).

Aprés, pour les D.L., il faut voir et faire attention, dans un D.L. (en x) on a un o(x^?) et ce n'est pas toujours de ça dont on a besoin...
Ici, ça semble une bonne idée...

P.S. Personellement, dans un calcul de limites danr R², je passe quasi-systèmatiquement en polaire...

par **mathdesprez** » 25 Fév 2010, 18:06

Salut à tous, voila alors une fois le calcul effectué et simplifié:
d'abord on dérive par rapport à x normalement:
d(f)/d(x) = [ (1-cos(y) +ay² cos(x))/(x²+y²) ] - [(2x²-2x²cos(y) +2axy²sin(x))/(x²+y²)²]

(attention aux parenthèses pour bien suivre)
ensuite on peut faire tendre (x,y) --->(0,0) donc on applique les Dl de cos et sin, on se retrouve avec :

[y²(0.5+a)/(x²+y²)] + [-ay²x²/2(x²y²)] - [(1+2a)x²y²/(x²+y²)²]

La maintenant je ne suis plus sur: on peut majorer (|xy|)² par [(x²+y²)/2]²
Cela permet de majorer et simplifié les 2 derniers termes de la somme:
le 2ème tendra vers 0 et le 3ème tendra vers (1+2a)/4
Mais comment majorer le 1er terme?
Est-ce que j'ai le droit d'utiliser polynôme de plus petit degré car (x,y) tendent vers 0?
si j'utilise sa je me retrouve avec a=-1/2 pour la continuité
Quelqu'un pourrait-il me confirmer mes calcules? ou m'aider?
Sachant que dans la question il parle de valeurs au pluriel...et que je n'en trouve qu'une seule.

Merci d'avance

par **mathdesprez** » 26 Fév 2010, 15:51

Quelqu'un svp?
Je trouve au final que la dérivé partiel est continue uniquement pour a=-1/2 ?
quelqu'un trouve pareil? ou d'autres idées?

merci d'avance

Continuité de dérivé partiel

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