Polynôme homogène

[Joker62]

Holé
Allez un ptit truc facile que je viens de découvrir et qui est tout mignon

Soit k un corps de caractéristique différente de 2 et deux entiers p et n tels que 3 <= p <= n.

On prend également p éléments de k* :

Montrer que est irréductible sur

Contre-exemple en caractéristique 2 ?

[Ben314]

Salut,
Je me lance, mais je ne vois vraiment pas à quoi sert le n !!!

Si ton polynôme P sécrit Q1xQ2 avec Q1 et Q2 non constants, alors ils doivent être tout les deux de "degrés global" égal à un (car le degrés global du produit est la somme des degrés) donc Q1=a1X1+...+apXp et Q2=b1X1+...+bpXp et l'hypothèse se traduit par le fait que aibj+ajbi=0 pour tout i différent de j.
Cela implique en particulier que tout les vectaurs (aj,bj) pour j>1 sont colinéaires à (a1,-b1) [qui est non nul car lambda1=a1b1 est non nul]
Si p>2 les vecteurs (a2,b2) et (a3,b3) sont donc colinéaires et on a a2b3-a3b2=0. Or on sait que a2b3+a3b2=0 donc, en caractéristique différente de 2 on en déduit a2b3=0 donc a2 ou b3 est nul ce qui implique lambda2 ou lambda3 nul : contradiction.

En caractéristique 2 (p quelconque), on a par exemple
P=X1²+X2²+...+Xp²=(X1+X2+...+Xp)² donc P n'est pas irréductible.

Si p=2, (caractéristique quelconque) on a par exemple
P=X1²-X2²=(X1-X2)(X1+X2) donc P n'est pas irréductible.

[Joker62]

Haileau Ben ;)

C'est une jolie version également.

En fait, le n dans ce contexte ne sert à rien j'avoue. Le fait étant que j'ai trouvé l'énoncé dans forme quadratique et compagnie donc le n c'est pour assurer la dimension finie de l'espace que l'on considère.

L'indication d'Arnaudiès-Fraysse et de considérer la forme quadratique associée à Phi et de montrer que la dimension de l'orthogonal de k^n est supérieure à n-2

Moi j'ai montrer que si Phi était réductible, alors la forme linéaire était de rang maximal 2 ce qui revient au même finalement.

Dans l'exo, il rajoute une CNS pour le cas p = 2
Il faut et il suffit qu'il existe q dans k* tel que Lambda2/Lambda1 = -q^2
Bon ça se voit facilement ça.

Mais bravo pour ta version.