Exercice complexe de 1ere

[Heavar]

Bonjour à tous
Ma première semaine de vacances s'achève et je part la deuxième , j'ai donc décidé de faire mon DM de Math mais apres deux heures de réflexion , mon brouillon est quasiment vide . Pouvez-vous me mettre sur la piste s-v-p ?
Alors l'exercice est
On devra démontrer à travers l'exercice que pour tout x de ( 0 ; + infini ( on a x-xcube/6 inférieur ou égal a sin x inférieur ou égal à x
1- On considère la fonction h : x = x-sinx définie sur (o ; +infini(
a- Etudier les variations de h . En déduire le signe de h sur ( O ; +infini(
la d'accord je doit faire un tableau de variation
b- En déduire que pour tout x supérieur ou égal a 0 , on a sin x inférieur ou égal a x

2- En étudiant les variations de la fonction g : x = cos x - 1 + xcarré/2 défine sur ( 0 ; +infini( ainsi que le résultat de la question précédente , demontrer que pour tout x de ( 0 ; +infini ( cosx-1+xcarré/2 est supérieur ou égal a 0
Comme je butte sur la b , je ne peux pas reussir celle-ci

3- etudier à présent le sens de variation de f:x = sinx-x+xcube/6 sur ( 0 ; +infini(
En déduire que pour tout x de ( 0 ; +infini ( sin x superieur ou egal a x-xcube/6

4- Concluer

Merci de m'aider , ne me donner pas les réponses s-v-p mais juste me mettre sur la piste merci

[Sylviel]

et bien tu viens d'étudier le signe de x-sin x est ce que cela pourrait te donner un moyen de comparer x et sin x ?

Tu buttes sur la b, mais rien ne t'empêche d'admettre le résultat et de chercher... Commence par calculer la dérivée et étudier les variations puis le signe...

[Heavar]

Bon alors voila j'ai demandé à un voisin ancien professeur et il m'a ditque ma réponse était fausse j'ai donc recommencer
J'ai trouvé
h(x) = x - sin x définie sur ( 0 ; +infini (
je calcule la dérivé
h'(x) = 1 - cos x
Pour tout x de ( 0 ; +infini ( h'(x) = 1 - cos x
Après c'est la que je doute car c'est la que je me sis trompé d'après mon voisin
D'après moi il faut calculer h' (x) =0 et je garde les résultat compris dans l'intervalle (0 ; +infini ( mais je ne trouve rien et je ne trouve pas le signe de h'(x)=0
Puis je doit faire le tableau de variations avec le signe de h'(x) et les variations de h
Est-ce le moyen ??
Merci
Ps : C'est la première question

[ned aero]

Tu n'as pas bien compris ce que voulait t'expliquer Sylviel

a)
on ne cherche pas le signe de f'=0 puisque ça vaut 0,

on cherche le signe de f' pour étudier les variations de f sur [0;+oo[.

dresse le tableau de variation sur [0;+oo[, calcule les limites en 0 et +oo

b) déduis en le signe de f= x - sinx pour répondre à la question

( exemple si f>0 ==> x - sinx > 0 donc x>sinx si f<0 alors x - sinx < 0 donc x

[Heavar]

j'ai dresser le tableau des variations et j'ai calculer les limites et j'ai trouver 0 et +infini est-ce sa ???
mais comment trouver le signe de h' ?
Après je déduis le signe de h sur (0 ; +infini( , il est positif non ??

Par contre je n'ai pas compris pourquoi calculer le signe de h pour la question b ???
Merci
Ps : Je n'ai absolument pas réussi ce chapitre , j'ai eu 6 au contrôle et la même avec mes livres je n'y arrive pas trop même pas du tout

[Heavar]

bon voila j'ai trouvé , il me reste la b , j'essaie de la faire mais on me dit que pour tout x superieur ou égal a 0 on doit prouver que sin x inferieur ou égal a 0 , je sais passer comme tu l'a dit pas h superieur ou égal a 0 donc x- sin x superieur ou égal a 0 ..... mais comment passer de x à h dans mon argumentation ??

La question 2 reste aussi trop complexe pour moi , un peu d'aide s-v-p ??

[ned aero]

si h>0 pour x€[0;+oo[==> x-sinx>0 pour x€[0;+oo[ donc:

x>sinx soit sinx

[Heavar]

Alors j'ai continué mais j'ai encore besoin d'aide pour les autres questions
Pour la 2 :
J'étudie les variations de g (h ) = cos x -1 + xcarré/2 définie sur ( 0 ; +infini (
donc je dérive la fonction et j'obtiens g'(x) = sin x + 2x est-ce cela ??
par contre je butte sur le point des domaines de derivation , si la fonction et définie sur ( 0 ; +infini ( , elle est dérivable sur le même intervalle ??
Après qu'est ce que je fais , je cherche le signe de g' ???
Pouvez-vous me donnez les étapes s-v-p ??
Merci

[Sylviel]

oui pour l'ensemble de définition (dans ce cas). Il faut dériver, mais ne pas se tromper en le faisant ;-) Oui tu veux étudier les variations c'est pour cela que tu as calculé la dérivée, dans le but d'en étudier le signe, ce qui te donneras les variations...

[Heavar]

bon donc comme domaine de derivation je met le même que celui de definition ??
Après j'essai de calculer le signe de g' donc je derive g(x) = cos x -1 + xcarré/2 et j'obtiens g'(x) = sin x + 2x ( est-ce juste ???) puis pour trouver le signe je met sin x est superieur ou égal à 0 si x appartient à ( 0 , +infini ( et pareil pour 2x , c'est le bon moyen ??
Merci

[Sylviel]

relis mon message tu verras que :
- l'ensemble de dérivation est le bon
- ta dérivation est fausse

ton affirmation comme quoi sinus serait supérieur à 0 si x>0 est bien surprenante...

[Heavar]

oui effectivemment , cos x = - sin x mais après peut etre que je me suis tromper en dérivant xcarré/2 mais je ne vois pas combien cela fait .
Pour trouver le signe de g' , je ne voit absolument pas comment !
Pouvez-vous encore m'aider s-v-p , je n'y arrive absolument pas !

[Sylviel]

(x²)'=...
donc (x²)'/2=...

Une fois que tu auras la bonne dérivée tu pourras regarder le début de ton exercice avant de continuer.

[Heavar]

donc (xcarré )' = 2 x
donc (xcarré/2)' = x
Ce qui me donne le même résultat que h
Après j'étudie le signe de la dérivé graçe à la réponse b du 1 et j'étudie les variations et je trouve comme limites 0 et +infini et après je demontre grace à la variation que la fonction g est superieur ou égal à 0 pour tout x dans ( 0 , +infini (

[Olympus]

EDIT : un bug avec mimeTex pour la dérivée seconde ...

Je ne donnerais pas la solution, juste des indices ( tu remarqueras que je ne respecte pas l'ordre de l'exercice, juste pour te montrer la méthode que cherche justement à te faire apprendre cet exercice ) .

Comme , on posera :

.

On dérive :

Là il faudra trouver le signe de pour en déduire que est croissante ( ce qui est cherché ici justement ) .

Mais tu remarqueras que c'est un peu difficile ... Donc l'idée serait de dériver cette fonction dérivée pour voir si elle est croissante ou décroissante ( positive ou négative ) :



Là ça dépend, soit il est admis d'appliquer directement l'inégalité de Jordan et de prouver directement que est positive, soit on dérive encore une fois :

.

est positive, donc est croissante .

Donc .

est positive, et donc est croissante .

Donc .

est positive, donc est croissante ( enfin ! ) .

Donc .

Donc .

CQFD .

Après, c'est à toi d'adapter à l'ordre des questions dans ton exercice .