Equation homogène

[pizzouille]

bonjour,

J'ai déja ouvert une discussion sur ce sujet, et je suis toujours coincée :§

je n'arrive à résoudre l'équation 2*x*y*y'=y²-x²

[Ben314]

Salut,
Si tu pose z=y² alors l'équation devient linéaire : xz'-z=-x²
Une solution particulière assez immédiate est z=-x² donc il ne te reste plus qu'a trouver la solution de l'équation homogène assoxiée : xz'-z=0, qui est trés façile à résoudre.

[pizzouille]

en posant z=y² j'obtiens x*z'*y'=z-x²
(z'=2*y)

[Ben314]

Non, ça ne va pas :
1) Si tu pose z=y² alors z'=2yy' (je te rappelle que le y recherché est une... fonction !!!)
2) Lorsque l'on "pose" z=y², on doit, partant d'une formule contenant des y (et évidement pas de z) obtenir une formule ne contenant que des z et pas de y (c'est le concept même du "changement de variables") donc surement pas xz'y'=z-x² qui contient à la fois du y et du z.

[pizzouille]

je trouve en revenant à y
y= racine((x+constante)*x)

[Ben314]

C'est quasi bon, mais c'est plutôt
y= racine((constante-x)*x)

[pizzouille]

résolution sans 2nd membre je trouve z=lambda*x

variation de la constante

je me suis trompée lors de la variation de constante
lambda'=-1
donc lambda=-x+constante
et pourquoi pas lambda=-(x+constante)???
à moins que ca revient à la même chose?

[Ben314]

C'est effectivement la même chose, vu que "constante=n'importe quoi" on a bien
-x+constante=-x-constante (évidement pas avec la même constante !!!)

[pizzouille]

j'aurais une autre question

voila j'ai 2*x*y'+y+3*x²+y² une équation de bernouilli

je trouve y=1/( ( (x*(racine x)) + lambda ) * (racine x) )

Est ce bon???

[Ben314]

Déja, je ne vois pas trop où est l'équation (pas de symbole = ???)
Ensuite, ce n'est pas franchement du type bernouilli (à cause du 3x²).
Quel changement(s) de variable as-tu fait ?

[pizzouille]

dans l'énoncé c'est écrit
résoudre l'équation de bernouilli
2*x*y'+y+3*x²*y²=0

[Ben314]

Effectivement, maintenant, c'est bien une équation (il y a un =) et elle est bien de bernouilli (contrairement à celle de ton post précédent ou tu avait un +3x²+y²).
Comme elle est de bernouilli, tu doit diviser par y² puis poser z=1/y qui conduit à z'=-y'/y².
Tu devrait trouver (si x>0) ce qui est bien la même chose que ton résultat.

[grikor]

bonjour.
2xyy'-y²=-x²; (2xyy'-y²)/x²=-1; (y²/x)'=-1;

[grikor]

bonjour.
2xyy'-y²=-x²; (2xyy'-y²)/x²=-1; (y²/x)'=-1; y²/x=c-x; y=sqrt[x(c-x)].