Analyse

[MathematicienPoche]

Bonjour,

Soit une fonction continue sur [a,b] telle que l'intégrale de a a b de f(x)*g(x)dx = 0 pour toute fonction intégrable sur [a,b]. Montrez que f(x) = 0 pour tout x faisant parti de [a,b].

Bon et bien j'ai pensé au théorème de la valeur moyenne qui dit que l'intégrale de f(x)g(x)dx = f(c) * integrale g(x)dx pour un certain c. Mais ca ne m'amène a rien de concluant!

merci.

[muse]

Je pense que ça peut se faire par l'absurde...
Tu fais le cas ou integrale de f*g > 0 (c'est pareille pour <0) et par continuité il existe epsilon tel que
integral de f*g>0
et apres je ne sais plus trop ou on obtient l'absurdité. Dsl je t'aide pas enormement mais c'est une piste

[MathematicienPoche]

mais dans ce cas f(x) pourrait valoir par exemple x et g(x) 0, ce qui donnerait f*g = 0, alors je crois que f * g > 0 nest pas suffisant.

[muse]

tu pars du principe que integral de f*g >0 et tu cherche une absurdité.
Ce n'est qu'une piste je n 'arrive pas a retrouver comment on fait.

[Ben314]

Salut,
Une des méthodes possible "à la main" consiste à travailler "localement" :

Tu suppose que f n'est pas identiquement nulle. Il existe donc un xo tel que f(xo) soit non nul. Par continuité de f, il existe un intervalle I centré en xo tel que f ne change pas de signe sur I. Tu fabrique alors une fonction continue g nulle en dehors de I et, par exemple positive sur I (je te laisse trouver g...) puis tu écrit l'intégrale de f*g...

P.S. : J'ai mal lu ton premier post : J'avais cru lire "...pour toute fonction g continue...". Si c'est "... pour toute g intégrable..." il te suffit de prendre pour g l'indicatrice de l'intervalle I...

[muse]

j'étais pas si loin c'est pas l'absurde :p

[MathematicienPoche]

oui mais il n'y a rien qui nous dit que g(x) ne peut pas être nulle! Alors même si f(x) negal pas zero (pour une preuve par l'absurde), comment peut on construire une fonction g(x) positive ou negative... il me semble que la méthode de ben n'inclut justement pas le cas ou g(x)=0.

[Ben314]

Je ne comprend pas trop ton "inclure le cas où g(x)=0".
Ton énoncé ne dit il pas que "l'intégrale de f*g est nulle pour toute fonction g intégrable" ?

P.S. En rfléchissant un peu plus, il y a aussi beaucoup plus simple : si l'intégrale de f*g est nulle pour toute fonction g, alors en particulier, en prenant g=f, l'intégrale de f² est nulle or f² est continue et positive...

[MathematicienPoche]

non en fait ce qu'on veut montrer c que si integrale de f*g = 0 alors f = 0.

[Ben314]

Veut tu montrer que

on veut montrer que si integrale de f*g = 0 pour une certaine fonction g fixée d'avance alors f = 0.

ou bien que

on veut montrer que si integrale de f*g = 0 pour toute fonction g intégrable alors f = 0.

J'ai répondu dans le cas de la deuxième hypothèse. Dans le cas de la première hypothèse, je ne peut te répondre vu que le résultat est évidement faux...

[MathematicienPoche]

Mais c'est ce que je trouve un peu bizarre, dans la question il n'y a aucune information sur g. Le premier post est exactement la question du livre.

[Ben314]

Ben... justement, ton premier post dit bien que (modulo les rajouts en rouge) :

Soit f une fonction continue sur [a,b] telle que l'intégrale de a a b de f(x)*g(x)dx = 0 pour toute fonction g intégrable sur [a,b]

donc on est bien dans "le deuxième cas" et tu peut prendre g=f pour conclure.

[MathematicienPoche]

merci j'ai compris!