Espace localement compact

[arttle]

Bonjour,

Je vois que sur wikipédia, concernant la définition d'espace compact, le fait d'être localement compact implique l'existence d'une base de voisinage compact pour tout point de l'ensemble. Or je n'arrive pas à voir comment.

Quelqu'un peut-il me mettre sur la piste svp?

[Ben314]

Salut,
Je ne comprend pas bien ta question...
Il me semble que, par définition, un espace localement compact est un espace tel que tout point admette un système fondamental de voisinages compacts....

Où alors tu est tombé sur une autre définition de "localement compact" (ce qui est possible) ?
Troisième possibilité, tu veut montrer que tout espace compact est aussi localement compact ?

[Nightmare]

Salut !

Quatrième possibilité : Formellement, un espace localement compact est un espace dont chaque point possède un voisinage compact. Ce que désire arttle je pense, c'est montrer que cela implique que tout point admet une base de voisinages compacts.

Autrement dit, étant donné un voisinage V d'un point a, il faut montrer qu'il existe un voisinage compact W de a contenu dans V.

Par hypothèse, on a l'existence d'un voisinage compact K de a et d'un ouvert U contenant a. Pour un point x dans K qui n'est pas dans U, par séparation on peut trouver deux voisinages ouverts U(x) et V(x), disjoints, contenant respectivement a et x. Le recouvrement de K\U par les V(x) admet un sous-recouvrement fini. On considère alors l'intersection X de tous les U(x) correspondant aux V(x) du sous-recouvrement, je te laisse examiner .

[Nightmare]

pour être exact.

[Ben314]

Effectivement, en regardant la définition de "localement compact" sur Wikipédia, on tombe bien sur celle que tu prend, c'est à dire sur l'existence d'un voisinage compact et ils signalent que certains prennent comme définition l'existence d'un système fondamental de voisinages compacts.
Je fait partie de ces "certains" là, et cela me parrait nettement plus logique du fait qu'en général, être "localement truc" signifie avoir des système fondamentaux de voisinages qui sont "truc".
En particulier, dans le cas où "truc=connexe" ou bien "truc=connexe par arc", il n'y a pas équivalence entre l'existence d'un voisinage truc et d'un système fondamental truc...

Tout ça pour dire que, perso, je préfère écrire :
1) Définition : X est localement compact lorsque tout point admet un système fondamental de voisinages compact.
2) Théorème : Si X est compact alors il est localement compact [c'est ce Nightmare montre juste çi dessus]
3) Corollaire : Pour que X soit localement compact, il suffit que tout point admette un voisinage compact [conséquence immédiate du 2)]

[arttle]

Merci beaucoup à tous pour vos interventions :)
J'ai maintenant je comprends un peu mieux la notion de localement compact.