F injective - distributivité?

par **MaxQuébec** » 16 Fév 2010, 15:18

Bonjour,

J'en suis à remettre en ordre les éléments de mon cours de structures discrètes, et j'ai rencontré un problème sur lequel j'accroche.

On parle d'une fonction injective F d'un ens A à B. Soit S et T des sous-ensembles de A, il faut démontrer que

f( S n T) = f(S) n f(T)

Je comprends, je visualise.... mais quand vient le temps de prouver autre que par des mots, j'accroche.

Merci de me guider les namis.

Max
(C'est lycée ca? )

par **Nightmare** » 16 Fév 2010, 15:22

Salut,

Pose toi les bonne question et après essaye d'écrire mathématiquement les questions : Qui sont f(S inter T) et f(S) inter f(T) ? De quels type d'éléments sont-ils formés?

Ensuite, si tu as déjà fait ce genre d'exercice, tu auras déjà vu une méthode courante pour montrer que deux ensembles sont égaux, qui consiste à montrer que l'un est inclus dans l'autre et vice-versa.

Sans parler d'injectivité et juste à la "tête" des éléments dans ces ensemble. Une inclusion est évidente, laquelle? Maintenant en utilisant l'injectivité, essaye de montrer l'autre inclusion, toujours en essayant de te poser les bonnes questions ! Et rien ne t'empêche non plus de faire un dessin avec des "patates" :lol3:

par **MaxQuébec** » 16 Fév 2010, 15:56

Voilà comment je m'y prendrais ... mais je crois ne pas faire correctement

f( S inter T) = f { x | (x element S) inter (x element T) }

f(S) = f{ x | x element S}
f(T) = f{x | x element T}

Donc, f(S) inter f(T) f{ x | (x element S) inter (x element T)} = f (S inter T) par définition

Mais .... j'ai l'impression que ca prouve pas?

par **Nightmare** » 16 Fév 2010, 16:21

Je pose la question autrement.

Si je prends x dans f(S inter T), quelle est sa "forme" ?

par **MaxQuébec** » 16 Fév 2010, 16:25

f(x) .............

par **MaxQuébec** » 16 Fév 2010, 16:34

Je devrais donc écrire

F (S inter T) = { f(x) | (x element S) inter (x element T)}

F(S) = (f(x) | x element S }

F(T) = {f(x) | x element T}

et F(S) inter F(T) = { f(x) | x element s ) inter ( x element T)} = F (S inter T) par définition

par **Nightmare** » 16 Fév 2010, 16:44

MaxQuébec a écrit:f(x) .............

x est de la forme f(x)? Le même x tu es sûr?

Qu'est-ce que l'ensemble f(E) pour une fonction f définie sur un ensemble E donné ?

par **MaxQuébec** » 16 Fév 2010, 16:52

L'ensemble f(E) représentera l'ensemble réponse, soit un ensemble nouveau contenant chaque élément de E transformé par la fonction f. (Sachant que f est injective)

..... un x de E deviendra f(x) ... Mais puisque tu me le dis, je suis dans l'erreur

par **Nightmare** » 16 Fév 2010, 16:54

J'attends simplement comme réponse :

si x est dans f(E), alors il est de la forme f(y) pour un certain y dans E. C'est la définition de l'ensemble image.

Quelle est donc la forme des éléments de f(S inter T) ?

par **MaxQuébec** » 16 Fév 2010, 17:03

Un x dans f(S inter T) est de la forme f(y) pour un certain y dans (S inter T) .... Mouep

La forme des éléments de f(S inter T), je dirais que les éléments sont des f(y) .... soit l'image des y contenus à la fois dans le sous-ensemble S et le sous-ensemble T

par **Nightmare** » 16 Fév 2010, 17:07

C'est bien ça !

Maintenant les éléments de f(S) inter f(T)? Tu devrais voir la première inclusion.

par **Nightmare** » 16 Fév 2010, 17:08

MaxQuébec a écrit:
La forme des éléments de f(S inter T), je dirais que les éléments sont des f(y) .... soit l'image des y contenus à la fois dans le sous-ensemble S et le sous-ensemble T

Pardon, c'est presque ça mais pas tout à fait, ce ne sont pas les images des y qui sont dans S et T à la fois, mais les y !

f(S inter T) est l'ensemble des f(y) avec y à la fois dans S et T. Symboliquement écrit,

par **MaxQuébec** » 16 Fév 2010, 17:15

Ouep, en fait, il y a eu mauvaise écriture mais je comprends bien.

pour f(S) inter f(T), les x de cet ensemble sont sous la forme f(y), dont les y sont des éléments à la fois dans S et T.

à l'écrit, tout comme avec les patates, je vois bien la preuve.

par **MaxQuébec** » 16 Fév 2010, 17:32

f(S inter T) = { f(x) | x element (S inter T)}

f(S) = { f(x) | x element S}
F(T) = {f(x) | x element T}

f(s) inter f(t) = { f(x) | (x element S) inter (x element T)}

En distribuant le '' x element'' dans la premiere définition ... on obtient la même définition qu'au deuxième.

J'y suis? :(

par **Nightmare** » 16 Fév 2010, 17:49

Tes définitions de f(S) et f(T) sont juste par contre ensuite ça ne va pas.

f(S) inter f(T) est formé des éléments qui sont à la fois dans f(S) et dans f(T), c'est à dire les éléments qui sont de la forme f(x) avec x dans S mais aussi de la forme f(y) avec y dans T.

Si l'on prend un élément de f(S inter T), ie un élément de la forme f(x) avec x dans S et T, il est alors évident qu'il est dans f(S) inter f(T).

Il faut montrer maintenant que si on prend un élément de f(S) inter f(T) alors il est dans f(S inter T), ie il faut montrer que si un élément que s'écrire des deux formes f(x) et f(y) avec x dans S et y dans T, alors il s'écrit forcément de la forme f(z) avec z qui est en même temps dans S et T. C'est ici qu'intervient l'injectivité. Essaye de montrer cette dernière inclusion.

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