Convergence

[jadis]

Bonjour à tous. J'ai fait un exercice sur une suite et j'aimerai avoir votre avis.

Pour theta appartenant à R, on définit la suite (Un) par:

Pour tout n entier, Un=cos(n.theta)

J'ai montrer que:

U2n - 2(Un)² = -1 (1)
Un+2 + Un = 2.cos(theta).Un+1 (2)

Je dois en déduire que (Un) converge si et seulement si theta=2.k.Pi (avec k dans Z).
Voilà comment j'ai fait mais ça me paraît vraiment bancal...

Je pars du principe que si (Un) converge, alors, pour n très grand, Un+2 , Un+1 et Un sont presque égaux.
Ou encore Un+2 + Un = 2 Un+1 (environ)

D'après l'égalité (2), on en déduit que (Un) converge si et seulement si cos(theta)=1 , cad ssi theta=k.2.Pi

Voilà, si vous pouviez me donner votre avis...

En attendant, je vais continuer l'exercice ( en déduire aussi que cos(n) diverge).

[jadis]

J'ai fait la dernière question, ça me paraît plus correct.

On sait que (Un) converge ssi theta=k.2.Pi.

cos(n)=(Un) <=> theta=1

On sait que pour cette valeur de theta, (Un) ne converge pas.
Donc cos(n) ne converge pas
Donc cos(n) diverge

[yos]

U2n - 2(Un)² = -1 (1)
Un+2 + Un = 2.cos(theta).Un+1 (2)

Si la suite converge vers L, alors d'après ces relations,
et .
D'où (L=1 ou L=-1/2) et (L=0 ou ).
Il faut ensuite envisager les différents cas.