Définition(s) d'un ensemble

[o.cornu]

Bonjour,

Je m'intéresse aux fondements de la théorie des ensembles, plus précisément aux (tentatives de?) définitions formelles du type ensemble à partir d'objets plus primitifs.
Mes recherches sur Google ne donnant pas grand chose, je m'en remets à vous. Tout lien, référence, piste de recherche sera la bienvenue...

Merci d'avance!

[Ben314]

Le seul système axiomatique que je connais un peu est celui de Zermelo-Frankel (souvent appellé "théorie des ensembles").
Dans ce système, on ne défini pas les ensembles, on énonce simplement une liste de propriété qu'il ont (i.e. on définit un modèle)

Si tu as fait un peu d'algèbre linéaire, tu as du voir la définition d'un K-espace vectoriel :
"Un K-espace vectoriel est un ensemble muni de deux opérations + et . telle que..."
Ce qu'il y a dans les points de suspension sont les axiomes des K espaces vectoriel. Il ne définissent absolument pas le + et le . : ils donnent des condition pour que l'on puisse dire que tel ensemble muni de telle opération + et . soit bien un K-espace vectoriel. Lorsque tout ces axiomes sont vérifiés, on s'autorise à dire que les élément de E sont des "vecteurs" mais on ne peut pas vraiment dire que ces axiomes "définissent" ce qu'est un vecteur mais simplement quelles sont les opérations "valides" que l'on peut faire avec des vecteurs.
Résumé : un vecteur, c'est un élément d'un ensemble qui est un espace vectoriel...

Pour Z.F., c'est exactement pareil, les axiomes décrivent la liste de propriétés que doivent vérifier une "collection de trucs" pour que l'on s'autorise à appeler ces "trucs" des ensembles. Cela ne définit pas ce qu'est un ensemble, mais simplement les propriétées qu'on la "collection" des ensembles (attention, la "collection" de tout les ensembles n'est pas un ensemble, tout comme la "collection" de tout les vecteurs d'un e.v. n'est pas un vecteur !!!)

Conclusion : Dans ZF, un ensemble, c'est un "truc" qui fait partie d'une collection (on parle souvent de "classe") de "trucs" qui vérifient bien les axiomes de ZF...

Enfin, je sais qu'historiquement (i.e. avant les systèmes d'axiomatisation de Russel, Zermelo,...), il y a eu des tentatives de définitions de la classe des ensembles, mais il me semble que mathématiquement, ça n'a rien donné de trés utile (si ce n'est de finir par la construction de ces fameux modèles...) Comme souvent, l'article de Wikipédia est assez bien fait :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9orie_des_ensembles

[o.cornu]

Merci pour ta réponse éclairée et éclairante, Ben, et ce malgré la formulation approximative de ma question!

Je crois en effet que, comme tu le suggères, je vais devoir creuser la notion de classe: "En mathématiques, la notion de classe généralise celle d'ensemble. Les deux termes sont parfois employés comme synonymes, mais la théorie des ensembles distingue ces deux notions. Un ensemble peut être vu comme une collection d'objets, mais aussi comme un objet mathématique, qui en particulier peut lui même appartenir à un autre ensemble" (1).
En d'autres termes -- et si je comprends bien:

1. Un ensemble est un élément de la classe des ensembles.
2. La classe des ensembles est la classe des objets pouvant appartenir à un autre élément de cette classe.

En passant, il me semble que cette formulation met bien en évidence le rôle central de la notion d'appartenance en théorie des ensembles (2). Ceci dit, la notion d'appartenance semble elle-même induite dans la proposition 1 ci-dessus. Est-ce à dire que la notion d'appartenance en "théorie des ensembles" est héritée de la "théorie des classes", ou bien s'agit-il de deux notions distinctes?
Il y a peut-être une piste dans le fait qu'une classe semble uniquement définissable par compréhension alors que c'est la définition par extension qui s'impose pour les ensembles...

Plusieurs questions se posent à ce stade:

• Est-ce le bon forum pour discuter ce sujet?
• En supposant que la classe soit bien un objet mathématique logiquement antérieur à (plus primitif que) celui d'ensemble, comment se fait-il que, traditionnellement, on n'occulte le passage par les classes et que l'on saute directement de la logique des prédicats aux axiomes de Zermelo-Fraenkel?

J'imagine que la prochaine étape qui s'impose à moi à ce stade est d'approfondir un peu la théorie des ensembles de von Neumann–Bernays–Gödel (3) et ses descendants.
Comme toujours, toute piste, lien, référence, etc, est la bienvenue!

--
(1) http://fr.wikipedia.org/wiki/Classe_%28math%C3%A9matiques%29
(2) "Ce qui est en jeu au premier chef dans la notion d'ensemble, c'est la relation d’appartenance : un élément appartient à un ensemble" -- http://fr.wikipedia.org/wiki/Ensemble
(3) http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9orie_des_ensembles_de_von_Neumann%E2%80%93Bernays%E2%80%93G%C3%B6del

[Ben314]

Salut,
La discution semble s'orienter plus "Épistémologie" que "Math"...
De mon point de vue (donc tout à fait discutable), dans Z.F., on a des ensembles et c'est tout. Normalement, on ne peut pas parler du "tout" que forment ces ensembles (ce n'est pas un ensemble) ni du "tout" que formerait les ensembles ayant une certaine propriété P (qui risque fort de ne pas être un ensemble non plus).
Le "Schéma d'axiomes de compréhension" (qui fait parti de Z.F.) précise que les éléments d'un ensemble fixé ayant la propriété P forment un ensemble.
Un autre "truc" qui montre que dans Z.F. on évite comme la peste de parler (ou plutôt d'écrire) le "tout" que forme les ensembles est que les axiomes de Z.F. s'expriment sous la forme (Axiome de l'ensemble vide ): et tu notera que derrière les quantifcateur on s'est bien gardé d'écrire un quelconque car... il n'y a pas de C.
Bon, aprés, tout le monde parle de "classe" pour parler de ces différents "tout" qui ne sont pas des ensembles, mais ils ne font pas partie de la théorie, on pourrait dire que ce sont des "ensembles au sens naïf" qui ne vérifient bien entendu pas les axiomes des ensembles puisque ce ne sont pas des ensemble.
A mon sens, on parle de "classe" car dans une discution (ou un papier), c'est un peu long de tout le temps faire des périphrases pour désigner "tout" les ensembles ayant une certaine propriété.

En résumé, je ne suis pas sûr que tu puisse trouver une "théorie des classes", pour moi le mot désigne un "truc" qui "contient des ensembles" mais... qui risque de ne pas être un ensemble...

Je pense qu'à travers tout celà, je te donne mon opinion (je préfère ne pas appeler ça une "réponse") concernant ta deuxième question : pourquoi ne parle t'on pas de "classes".

Pour ta première question "Est-ce le bon forum pour discuter ce sujet ?", je ne sait pas trop quoi te répondre. Même parmi les mathématitiens "professionnels" (Enseignants & Chercheurs), trés peu on eu dans leur carrière à ouvrir un livre de théorie des modèle : j'ai l'impression que c'est une 'spécialité' en math qui est un peu à part des autres et je ne sais pas s'il passe souvent sur le forum des personnes ayant une certaine connaissance sur le sujet. La mienne est assez superficielle et je ne pense pas pouvoir t'éclairer beaucoup plus que ce que j'ai tenté de faire.
Je te (re)rapelle que je considère une bonne partie de ce post comme étant mon opinion et pas une quelconque "véritée absolue".

[Doraki]

J'ai fait un peu de théorie des modèles en cours y'a longtemps c'était rigolo mais je suis dans la collection des gens qui en ont pas compris l'intérêt pratique.

Le point de départ de la distinction entre classe et ensembles, et puis de tout un tas d'autres trucs rigolos, c'est le paradoxe de Russel.

Si tu mets les élément et les ensembles sur le même plan (ce que veut faire la théorie des ensembles), tu risques de pouvoir définir {x / x n'est pas dans x}.
C'est pour ça qu'il est nécessaire d'avoir des restrictions sur ce que tu as le droit de définir ; et d'avoir une sorte de hiérarchie qui empêche à un ensemble de pouvoir appartenir à lui-même.

[o.cornu]

La discution semble s'orienter plus "Épistémologie" que "Math"...

C'est possible: j'ignore quelle est la "limite basse" en-dessous de laquelle on sort du domaine des maths -- si tant est qu'il y en ait une. Néanmoins, il me semble qu'essayer de définir formellement ce qu'est l'objet "ensemble" à partir d'un objet plus primitif reste dans le domaine des maths (la théorie des ensembles de NBG semble confirmer ce point).

Normalement, on ne peut pas parler du "tout" que forment ces ensembles (ce n'est pas un ensemble) ni du "tout" que formerait les ensembles ayant une certaine propriété P (qui risque fort de ne pas être un ensemble non plus).

Je crois qu'il y a ambiguïté sur le terme "classe", qui semble couramment employé pour signifier simplement une famille d'ensembles (ayant en général une propriété commune) comme tu l'as rappelé.
Dans le sens qui m'intéresse, une classe est un objet distinct, permettant essentiellement de définir des familles d'objets. J'imagine qu'on pourrait parler de "classe des ensembles" ou de "classe des opérateurs", ou bien encore de "classe des quantificateurs", etc. Bien entendu, cela implique de définir l'objet classe avant de définir une classe quelconque -- et celle des ensembles en particulier.
En y repensant, la notion de classe dans ce sens est assez proche de la notion de classe en programmation orientée objet...
Ai-je éclairci l'ambiguïté ou ai-je mal interprété ta réponse?

J'ai fait un peu de théorie des modèles en cours y'a longtemps c'était rigolo mais je suis dans la collection des gens qui en ont pas compris l'intérêt pratique.

Je ne pas sûr de pouvoir lever tes doutes quant à l'intérêt pratique de la chose.
Mon intuition c'est qu'en travaillant sur les fondements on peut mettre en lumière les germes de problèmes qui n'apparaissent de façon indéniable qu'à des étapes ultérieures de la théorie. Pour réutiliser une image usée jusqu'à l'os: c'est souvent en analysant les fondations qu'on comprend pourquoi le mur fissure quelques étages plus haut...

[o.cornu]

Si tu mets les élément et les ensembles sur le même plan (ce que veut faire la théorie des ensembles), tu risques de pouvoir définir {x / x n'est pas dans x}.
C'est pour ça qu'il est nécessaire d'avoir des restrictions sur ce que tu as le droit de définir ; et d'avoir une sorte de hiérarchie qui empêche à un ensemble de pouvoir appartenir à lui-même.

C'est un point intéressant.
D'après ce que j'en comprends, l'idée de n'avoir que des ensembles est motivée par la volonté de réduire le nombre d'objets de base à un minimum: il est vain d'introduire un objet "élément" (sous-entendu: d'un ensemble) si l'on peut s'en passer et ne parler que d'ensembles.
Ce qui caractérise essentiellement l'objet "ensemble" c'est la propriété d'appartenance. Pour autant, on peut se demander si, lorsqu'on écrit , les ensembles A et B ont le même statut. Autrement dit, si un ensemble considéré comme élément d'une collection et un ensemble considéré comme collection d'éléments sont strictement la "même chose". Personnellement, mon intuition me suggère qu'il s'agit de deux notions distinctes.
J'ignore si la distinction entre ces deux facettes de l'objet ensemble est explicitement présente dans les diverses théories des ensembles…