Courbe elliptique - équation de weiestrass

[kagoune]

bonjour,
on se donne une courbe E elliptique donnée par l'équation de weierstrass habiltuelle (c'est )
on utilise la forme dégénérée (z=1)
la quesion c'est montrer que si P=(x,y) est sur E alors -P a pour coordonnées A=(x,-y- ).
donc j'ai montré que A est sur E et que A est sur la droite passant par le point O=(0,1,0) et par P.
il me faut maintenant montrer que A est différent de P.
je suppose par l'absurde que A=P donc mais après je n'arrive pas à conclure...
merci de votre aide

[Ben314]

Salut,
Attention, tu peut avoir -P=P, si la "droite" (OP) est tangente en P à la courbe.
A mon avis, le plus simple est de dire que, pour x fixé ( c'est la "droite" (OP)), l'équation du second degrés (en y) formé par ton équation (où tu prend z=1) a pour solutions y1 et y2 qui sont les ordonnées respectives de P et de -P (qui sont égales si l'équation du second degrés admet une racine double...)

[kagoune]

merci!!! oui c'est vrai ils peuvent etre confondus.

j'aurais une dernière question à propos d'une démonstration d'un théorème de cours.
on considère toujours l'équation de weierstrass et on considère le point singulier S=(0,0,1). avec les conditions qu'apportent ce point on a alors l'équation suivante:

ça j'ai compris.
après on pose a et b les racines du polynôme . on obtient alors

si S=(0,0) est un cups alors a=b et par changement admissible de coordonnées on a
et la, on dit que l'équation de la tangente en S est y =0. et je pense que c'est surement trivial mais je vois pas pourquoi