[1S] Dérivation, minimum...

[gigi-75]

Bonjour,

j'aurai voulu savoir pour cet exercice si mon raisonnement était bon. Si je pars d'un début faux, je ne vois pas comment la fin serait bonne.

On coupe un fil de fer de longueur 48 m en deux parties. L'une permet de construire un carré, l'autre un triangle équilatéral. Comment doit-on couper ce fil pour que la somme des deux aires du carré et du triangle soit minimale ?

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Sur le fil de 48 m, une partie sera le périmètre du carré et l'autre partie sera le périmètre du triangle équilatéral.

Soit x le périmètre du triangle équilatéral.
Soit 48-x le périmètre du carré

Donc le coté du carré = (48-x)/4
le coté du triange = x/3

Aire du carré : c² = [(48-x)/4]² = (48-x)²/16
Aire du triangle équilatéral : (c²*(racine)3)/4 = [(x/3)²*(racine)3]/4 = [x²*(racine)3]/36

f(x) = sommes des aires = (48-x)²/16 + [x²*(racine)3]/36

Là je ne sais pas si ça se simplifie ...
Pour trouver un minimim, je dois trouver le tableau de variation. On dérive donc la fonction mais je n'arrive pas à dérivé cette fonction donc si quelqu'un pourrait m'aider

Et je vous demanderai aussi, svp, si il y a des erreurs dans le début, merci et bonne soirée.

[Sa Majesté]

Je ne vois pas d'erreur
C'est une fonction du second degré
Tu peux éventuellement développer le carré et regrouper les termes en x² et dériver ensuite

[gigi-75]

J'y ai pensé à développer le carré, je l'ai même fais mais ...

Je développe
(48-x)² = 2304-96x+x²

donc (2304-96x+x²)/16

f(x) = (2304-96x+x²)/16 + [(racine 3)x²]/36

Je dois le mettre au même dénominateur puis assembler les x² ensemble ... ?

En mettant au même dénominateur:

[(2304-96x+x²)*36 + [(racine)3*x²]*16]/576

Est-ce bon ?

[Sa Majesté]

Désolé mais c'est trop calculatoire pour moi à cette heure de la journée ... :stupid_in

[gigi-75]

Dommage, je devai le rendre pour demain...

Mais est ce que le principe est bon ?
si je vous détails les calcules, vous pourrez me dire la dérivé ?

[gigi-75]

"Sa majesté" svp, c'est juste la dérivé qui me gène ...

[Sylviel]

Pourquoi de casser la tête pour mettre au même dénominateur avant de dériver ? Pour rappel : (f+g)'=f'+g', donc tu peux dériver chaque terme de sont côté et tu rassembles ensuite si tu le pense nécessaire.

Si c'est à rendre pour Lundi et que tu n'es pas sûr de savoir faire peut-être est-ce judicieux de s'y prendre à l'avance...

[Sa Majesté]

Si c'est à rendre pour Lundi et que tu n'es pas sûr de savoir faire peut-être est-ce judicieux de s'y prendre à l'avance...

Très juste ...

Sinon gigi tu peux un peu simplifier les calculs en appelant le périmètre du triangle non pas x, mais 4x ou même 12x, ça doit permettre de supprimer quelques fractions

[gigi-75]

Avant toute chose,

Je suis sur cette exerice depuis une semaine ...
J'ai pu avoir de l'aide par mon professeur, mais j'en reste bloqué à la dérivée.
Aujourd'hui, je suis resté la journée, bloquée à trouver la dérivé...

Donc comme vous dites, je laisse les dénominateurs tel quel.

f(x) = (2304-96x+x²)/16 + [(racine 3)x²]/36

dérivé de (2304-96x+x²)/16. La je bloque car le 16 va être égale à 0

[gigi-75]

La suite et fin de l'exercice, je sais déjà comment faire. Mais sans la dérivée, je ne peux pas continuer

[Sylviel]

ok le plus simple est de le voir ainsi :
(2304-96x+x²)/16 = 2304/16-96/16x+x²/16

Ensuite tu dérives chaque terme un à un. Sinon effectivement (16)' = 0 mais n'oublie pas qu'il s'agit d'une division... Retiens bien ce principe : pour dériver il vaut mieux avoir des sommes (et des différences) que des produits (et encore pire des divisions) => il vaut mieux développer que factoriser par exemple...

[gigi-75]

2304/16 la dérivée = 0 puisque c'est une constante

-96/16x la dérivé est égale à (-96/16x)/16

x²/16 la dérivé est égale à 0 non ?

[Sylviel]

Ah non... Il faut revoir ton cours là !

dérivée d'une constante = 0 -> ok
dérivée de a*x = a (car dérivée de x = 1)
dérivée de a*x² = 2*a*x (car dérivée de x² = 2x)
et de manière générale : dérivée de x^n = nx^(n-1)

[gigi-75]

Ce que j'ai mis n'est pas correcte ?

2304/16 la dérivée = 0

-96/16x la dérivé est égale à 16 ?

x²/16 la dérivé est égale à 2x ?

[Sylviel]

Non ce que tu as mis n'est pas correct, et toujours pas ensuite...

Pour le 0 ok
Pour -96/16x la dérivée est -96/16=-6 (c'est le coefficient devant le x, rien d'extraordinaire ;-)
x²/16= (1/16) x² donc quand tu dérives tu te souviens que (a*f)'=a*f', si a est une constante, donc ta dérivée est (1/16)*2x...