Séries entières

[amk]

Bjr tt le monde,
Soit la série entière

On cherche à calculer le rayon de convergence R de cette série puis determiner la somme S(x)

pr le rayon de convergence je trouve , c'est faux n'est ce pas ? ( j'ai appliqué bêtement la formule lim(a_n/a_n+1) n--->l'infini ) ou alors ça voudrait dire que la série converge sur R tt entier ?

Sinon , pour qu'elle soit une série entière je dois faire un changement de variable mais lequel ? x² = t ?

pour le calcul de la somme , c'est ok j'intervertis le signe somme et le signe intégrale . je dois d'abord prouver la convergence uniforme de la série ?

merci !

[abel]

j'aurais fait pareil que toi pr le changement de variable
le rayon vaut bien +oo car ta suite ((2n+1)/n!*x^(2n)) est toujours bornée et cela pour tout x (ca provient du fait que x^2n est toujours negligeable devant n! pr les grandes valeurs). Pr le montrer tu peux aussi voir ca comme une SE en t et appliquer le critere de d'Alembert lim(Un+1/Un) et de voir que ca fait 0 donc R=+oo. Du coup t peut etre arbitrairement grand donc x aussi.
(dsl pr le manque de rigueur pr les explications ms le cours est là pr ça)

[yos]

Tu peux aussi dire que c'est une série entière avec et .
Et sans changement de variable.