Etude fonction exponentielle

[sarvane]

L'objet de la partie I est d'etudier la fonction f définie sur l'intervalle [0; +infini[ : f(x)=x²-3+3e^(-1/3x)

on note C la courbe representative de f dans le repere orthonormal (O;i;j), unite graphique 2cm.
L'objet de la partie II est d'etudier une methode d'approximation de l'unique solution non nulle "a" de l'equation.
f(x)=0, a l'aide d'une suite.

Partie I
etude de f

1.sens de variation de f
a) calculer la derivee f' de f
b) etudier le sens de variation de f' et calculer la limite de f' quand x tend vers +infini
c) deduire de ce qui precede l'existence et l'unicite d'un nombre reel alpha > 0 tel que f'(alpha)=0 et montrer que 0,4< alpha< 0,5
d) etudier le signe de f'(x) sur [0; +infini[

2.comportement asymptotique de f en +infini
a) determiner la limite de f en +infini
b) determiner le signe de [f(x) - (x²-3)] et sa limite en +infini. interpreter graphiquement ce resultat on note P la courbe d'equation y=x²-3

3.signe de f
a) dresser le tableau de variation de f
b) prouver que l'equation f(x)=0 admet une solution non nulle "a" et une seule appartenant a l'intervalle [alpha; +infini[ et montrer que 0,8< alpha< 0,9
c) etudier le signe de f(x) sur [0; +infini[

4.tracer dans le repere(O;i;j) lees courbe P et C. on precisera la tangente a C au point d'abscisse

5.a) calculer l'integrale I(lambda)={(aux bornes (0;lambda)) [f(x)-(x²-3)]dx ou lambda designe un nombre reel strictement positif.
b) interpreter graphiquement ce resultat
c) determiner la limite de I(lambda) quand lambda tend vers +infini

Partie II
Approximation de la solution "a" de l'equation f(x)=0
soit g la fonction definie sur l'intervalle I=[0,8 ; 0,9] par :
g(x)=x-f(x)=x+3-x²-3e^(-1/3x)

ainsi la solution "a" de l'equation f(x)=0 est aussi l'unique solution de l'equation g(x)=x

1.etude de la fonction g'
a) calculer g'(x)
etudier son sens de variation (on pourra utiliser les résultats de I-1.b)
b) calculer g'(0,8) et g'(0,9). en deduire qu'il existe un nombre beta et un seul de l'intervalle I tel que g'(beta)=0
montrer que pour tout x appatient [beta;0,9], |g'(x)| < 6.10^-2, puis que pour tout x appartient I, |g'(x)|< (1/5)

2.etude de la fonction g
a) etudier les variations de g sur I
b) calculer g(0,8) et g(0,9)
en utilisant l'inegalite des accroissements finis, prouver que |g(0,9) - g(beta)|< 6.10^-2
en deduire que g(beta) appartient a I
c) prouver que pour tout x appartient a I, g(x) appartient aussi a I
d) montrer que pour tout x appartient a I, |g(x) - "a"|< (1/5)|x -"a"|.


:mur: Voila appel a tous ceux qui savent... moi c vraiment la galere je comprend rien a tout ca. c un DM que je doi rendre vendredi. merci d'avance et bon courage. grosses bises a tous