Dual d'un idéal maximal

[Finrod]

Bonjour,

Je suis en train d'essayer de comprendre la notion de dual d'un idéal maximal dans un anneaux A.
Mon principal problème est qu' il existe peut être plusieurs définitions et qu'elles sont de toute façon dure à trouver sur la toile.

Je sais que le dual de mon idéal maximal m va vérifier

Mais j'ai aussi vu une définition de la forme ...

Si quelqu'un en a déjà entendu parler...

[Ben314]

La première définition ne me dit rien...
Par contre, la deuxième est la définition usuelle du dual dans la catégories des A-modules (A commutatif ? unitaire ? intègre ? principal ? Noeutherien ? ...)
Reste à montrer que .
Le premier truc concon qui me vient à l'esprit est de considérer l'application :
Elle est A-bilinéaire donc elle passe au quotient ensuite...


Edit : ... si par exemple m est principal sur A commutatif unitaire intègre, le résultat coule de source...

[Finrod]

A est juste commutatif unitaire. m n'est pas principal.

Par contre, il semble que ce qui importe est que m vérifie la chose suivante

un anneau de valuation discrète (i.e. local et principal)

Et visiblement, il y aurait une façon de regarder m localement (sur les anneaux locaux de la forme ) pour en déduire quelque chose sur m.

évidemment je ne connais pas de thm qui fasse cela...

[Ben314]

Ici, ce qui ne semble à priori pas évident, c'est évidement de produire ne serait-ce qu'un élément non trivial de ...
Je pense qu'effectivement, en regardant m dans les "localisé" on devrait pouvoir produire des éléments non triviaux de ...

Bon, il faut que j'aille me coucher, j'ai cours super tôt demain. J'essayerais d'y réfléchir (voire de tricher un peu en demandant à un colègue algébriste :zen: ) demain aprés midi...

[Finrod]

En fait, ce que me turlupine plus c'est que je ne comprend pas la formule qui donne le schéma affine associé au fermé Zariski engendré par m...

Je me demandais si le dual de m était commutatif ?

Edit : il semble bien commutatif oui.

[Finrod]

Autre question :

A-ton-on un isomorphisme entre et B ?

Ce que je lis là suggère fortement que non, mais je ne vois pas comment ces deux anneaux (commutatifs unitaires) ne pourraient pas être isomorphes.

Edit : Je comprends

Dans mon cas est juste un module. donc prendre , ça revient à prendre l'algèbre engendré en un certain sens.

Ce que je note n'est pas un anneau de polynôme en fait, c'est l'anneau libre engendré par M. Difficile de le décrire précisément.

[Doraki]

Je vois pas non plus comment B[X]/X peut être différent de B.

A propos de la commutativité du dual de m, c'est quoi un module commutatif ?

[Finrod]

Je ne savais pas si c'était un module ou un anneau.

Maintenant, j e comprend mieux.

Il ne me reste plus qu'a comprendre pourquoi le dual est inversible mais si c'est du a un théorème général, à moins de trouver le dit théorème, je ne pourrai pas le redémontrer à la main je pense.

[Finrod]

Pour donner un exemple simple :

Si A est un anneau à valuation discrète. Alors m est principal engendré par un élément f.

Le dual de m est alors en quelque sorte le module engendré par A et l'élément .

J'aimerai bien savoir quel est le plus petit anneau contenant ce module. Ici c'est , la localisation de A par f.

Il faut donc vérifier que l'anneau libre engendré par est Auquel cas, le plus petit anneau contenant sera bien

[Doraki]

T'es jamais assez précis et on peut jamais savoir de quoi tu parles.
un anneau libre engendré par un module ?? enfin passons.

Comme A-module, le dual de m est quand même fort ressemblant à m ou à A (principal), non ?
Le plus petit anneau contenant un A-module ressemblant à (m^-1) ça serait pas A ? (enfin à moins que A ne soit pas intègre et qu'il se passe des trucs louches ? mais je sais pas si A peut ne pas être intègre).

Si j'oublie pas que m-1 = Hom_A(m,A), là je peux tenter de deviner ce que tu veux obtenir, à savoir un anneau B, contenant A, où on a une injection A-linéaire f : m-1 -> B, telle que pour tout g de m-1 et x de A, f(g) * x = g(x) ?
Là ouais, ça veut bien dire que B contient un inverse pour ton générateur de m.

J'ajoute que la localisation d'un anneau par un idéal premier est ce qu'on obtient quand on inverse ceux qui sont PAS dans l'idéal, alors que (f-1)A est à l'inverse ce qu'on obtient quand on inverse f et ses puissances.
(J'crois que c'est noté différemment, genre y'en a un c'est A(f) et l'autre c'est Af, je sais pas lequel est lequel).
D'autant plus que si ton anneau est déjà un anneau de valuation discrète, ben il est déjà local donc ça sert à rien de le localiser.

Enfin moi j'veux bien te lire, mais ça serait plus facile si tu nous disait ce que tu crois que les trucs comme "anneau engendré par un module" veulent dire techniquement.

[Finrod]

T'es jamais assez précis et on peut jamais savoir de quoi tu parles.

Ben ici j'essaie de deviner des notions a partir d'une unique référence peu précise. Donc forcément, mes question ne sont pas extraordinairement précises.

un anneau libre engendré par un module ??

Les générateurs sont les mots formés avec les elts du module. L'addition est donné par la loi du module, la multiplication par la multiplication naturelle sur les mots.

A ne peut pas contenir le dual de m. On a un morphisme naturel de A dans le dual et on peut deviner des elts du dual qui ne peuvent pas être dans A. Si m est principal, engendré par f, le dual contient un elt qui correspond philosophiquement à l'inverse de f et ne peut appartenir à A.

On ne demande pas que A soit intègre.

là je peux tenter de deviner ce que tu veux obtenir

C'est un autre type qi l'obtient, moi j'essaie de deviner comment et pourquoi. A la base, le type il a même pas expliquer le raisonnement, juste donner le résultat en exprimant son quotient de façon catégorique avec un conoyau (ce que je trouve vache)

J'ajoute que la localisation d'un anneau par un idéal premier est ce qu'on obtient quand on inverse ceux qui sont PAS dans l'idéal, alors que (f-1)A est à l'inverse ce qu'on obtient quand on inverse f et ses puissances.
(J'crois que c'est noté différemment, genre y'en a un c'est A(f) et l'autre c'est Af, je sais pas lequel est lequel).
D'autant plus que si ton anneau est déjà un anneau de valuation discrète, ben il est déjà local donc ça sert à rien de le localiser.

J'inverse l'elt f ici bien entendu. L'idéal m étant maximal son complémentaire dans A local est formé d'inversibles de toute façon.

Enfin moi j'veux bien te lire, mais ça serait plus facile si tu nous disait ce que tu crois que les trucs comme "anneau engendré par un module" veulent dire techniquement.

Désolé, je ne sais pas si ce genre de notion est connue ou peu classique. J'ai précisé l'idée donc, l'anneau engendré par les mots formés d'elt du module.

Au final, je comprend a peu près ce qui se passe même s'il y a plusieurs choses que je ne vois pas comment prouver. Il faudra que je m'en contente je crois, avant de trouver de meilleurs références sur les fermés Zariski minimaux (correspondant au idéaux maximaux...)


EDIT : pour l'anneau engendré par un module, j'ai pas précisé mais c'est commutatif donc on prend les mots à permutation près. Et c'est Z-linéaire donc un mot est en fait un elt de où n est la longueur du mot.