Exo (oral Mines-Ponts) --> je bloque

[Anonyme]

Bonjour à tous j'ai un exo sur lequel je cale (oral des mines 2005)

Soit f une fonction C0 par morceaux de I (intervalle dans R) dans R et F une application telle que pour tout (x,y) dans I² on a F(y)-F(x)>=(y-x)*f(x)

Déjà il fallait montrer que f est croissante et que F est convexe ce que j'ai fait: ensuite ils demandent de déduire que :
(integrale,[a,b]) f(t).dt = F(b)-F(a) (pour a,b dans I)
(indication : utiliser les sommes de Rieman)

j'ai intégré de 0 à 1 pr essayer de voir le principe et j'ai seulement réussi à majorer cette intégrale par F(1)-F(0) (juste en utilisant l'inegalité de départ)
Si qqun pouvait me donner des indications ce serait cool.
Merci

[isortoq]

Bonjour à tous j'ai un exo sur lequel je cale (oral des mines 2005)

Soit f une fonction C0 par morceaux de I (intervalle dans R) dans R et F une application telle que pour tout (x,y) dans I2 on a F(y)-F(x)>=(y-x)*f(x)

Déjà il fallait montrer que f est croissante et que F est convexe ce que j'ai fait:

Ne faut-il pas que f soit à valeurs positives pour avoir la convexité ??

ensuite ils demandent de déduire que :
(integrale,[a,b]) f(t).dt = F(b)-F(a) (pour a,b dans I)
(indication : utiliser les sommes de Rieman)

j'ai intégré de 0 à 1 pr essayer de voir le principe et j'ai seulement réussi à majorer cette intégrale par F(1)-F(0) (juste en utilisant l'inegalité de départ)
Si qqun pouvait me donner des indications ce serait cool.
Merci

Pour avoir la minoration il faut prendre "l'autre" somme de Riemann, à savoir :

[abel]

Pas besoin que f soit positive car on tombe sur un truc du genre :
(F(ka+(1-k)b) - (kF(a)+(1-k)F(b)) >= (b-a)(f(b)-f(a)) et comme f est croissante c'est cool.

Je vois pas trop où tu veux en venir avc la 2eme somme de Rieman car dans mon cours le seul truc que j'ai c'est que la somme de Rieman dont tu parles tend vers l'integrale de f sur [0,1], le truc c'est qu'avec ça on majore terme à terme les f(k/n) pr avoir une somme telescopique avc F (on prend x=k/n et on choisit y=(k-1)/n) et avoir la majoration par F(1)-F(0) mais apres je vois pas comment faire...

[isortoq]

Je vois pas trop où tu veux en venir avec la 2eme somme de Rieman car dans mon cours le seul truc que j'ai c'est que la somme de Rieman dont tu parles tend vers l'integrale de f sur [0,1], le truc c'est qu'avec ça on majore terme à terme les f(k/n) pr avoir une somme telescopique avc F (on prend x=k/n et on choisit y=(k-1)/n) et avoir la majoration par F(1)-F(0) mais apres je vois pas comment faire...

Il me semble qu'avec la somme de Riemann dont je parlais (k variant de 1 à n), tu minores l'intégrale, et avec la somme pour k variant de 0 à n-1 tu la majores...

[isortoq]

Pas besoin que f soit positive car on tombe sur un truc du genre :
(F(ka+(1-k)b) - (kF(a)+(1-k)F(b)) >= (b-a)(f(b)-f(a)) et comme f est croissante c'est cool.

Mais ton inégalité dit que F est concave et pas convexe !

[abel]

Ouaip, il faut lire "<= " j'ai écrit trop vite
DSL...

Sinon merci je crois voir ce qu'il faire maintenant pr en finir avc cet exo, l'idée d'encadrer par les 2 sommes se comprend tres bien en faisant un dessin. :++:

[Anonyme]

Je me trompe peut etre, mais si on obtient :

F(ka+(1-k)b) - (kF(a)+(1-k)F(b)) <= (b-a)(f(b)-f(a))

alors on n'a rien d'intéressant, puisque f est croissante, donc : (b-a)(f(b)-f(a)) >= 0, ainsi on a obtenu que :

F(ka+(1-k)b) - (kF(a)+(1-k)F(b)) est inférieur à un réel positif, mais en aucun cas inférieur à 0...

Donc pas de convexité...

[abel]

Dsl c'est (a-b)*(f(b)-f(a)) ou (b-a)(f(a)-f(b)) alors (j'ai pas l'exo avc moi c prquoi jme plante en restituant). En tous cas je me rappelle que ca marche c'est sûr (va pas me casser mon truc qud meme...lol)

[isortoq]

En fait, on trouve <=0 et on n'utilise pas la croissance de f...

[abel]

- J'ai ma feuille devant moi et j'ai eu besoin de la croissance de f pr la convexité (cela dit c pas la seule methode à mon avis) : moi j'ai fait comme ceci : (aj'ai fait l'inegalité en (a,b) puis j'ai tout multiplié par t (t est dans ]0,1[)
j'ai fait pareil avc (b,ta+(1-t)b) puis j'ai additionné les deux inégalité et là j'ai besoin de dire que f est croissante pr conclure
- Sinon j'ai fait le truc en encadrant l'integrale avc les sommes et ca marche bien donc merci bcp
:++:

[isortoq]

- J'ai ma feuille devant moi et j'ai eu besoin de la croissance de f pr la convexité (cela dit c pas la seule methode à mon avis) : moi j'ai fait comme ceci : (a<b)
j'ai fait l'inegalité en (a,b) puis j'ai tout multiplié par t (t est dans ]0,1[)
j'ai fait pareil avc (b,ta+(1-t)b) puis j'ai additionné les deux inégalité et là j'ai besoin de dire que f est croissante pr conclure
- Sinon j'ai fait le truc en encadrant l'integrale avc les sommes et ca marche bien donc merci bcp
:++:

Moi j'ai fait l'inegalité en (ta+(1-t)b,a) puis en (ta+(1-t)b,b), j'ai multiplié la 1ere par (1-t) et la 2nde par t (t est dans ]0,1[) ou le contraire et j'ai additionné...

Bon week-end !