Groupes

par **barbu23** » 03 Fév 2010, 13:19

Bonjour à tous : :happy3:
Soit

un espace vectoriel de dimension fini :

.
Soit

un groupe fini.
Soit

une représentation du groupe de

Par conséquent,

se decompose en somme de représentations irréductibles de

.
C'est à dire :

s'écrit comme ça :

avec :

sous espace de

invariant par

quelques soit :

( i.e :

:

)
Et donc :

D'après le livre que je suis entrain d'apprendre sur les représentations des groupes, on dit que que cette décompostion sert à ramener l'étude de

à celle des :

!
Quelle est le but de cette idée, et qu'est ce qu'ils ont de particulier ces représentations irréductibles :

?
Merci d'avance ! :happy3:

par **yos** » 03 Fév 2010, 14:36

barbu23 a écrit:Quelle est le but de cette idée, et qu'est ce qu'ils ont de particulier ces représentations irréductibles :

Toute représentation de G se décompose en somme directe de ces représentations irréductibles.
Elles sont déterminées, à isomorphisme près, par G uniquement.
Elles sont caractérisées par leur caractère qui va de G dans C.
Plus généralement, tout ça sert à récupérer des infos sur un groupe G en le réalisant comme groupe de matrices.
Le mieux c'est de remonter ses manches et de chercher les représentations irréductibles de groupes petits.

par **barbu23** » 03 Fév 2010, 15:10

yos a écrit:Le mieux c'est de remonter ses manches et de chercher les représentations irréductibles de groupes petits.

Oui, par exemple :

! :happy3:
Yos : Tu peux me filer un petit coup de main pour chercher les representations irréductibles de

? je ne sais pas par quoi commencer ! :happy3:
C'est la première fois que je vais aborder les representations des groupes ! :happy3:

par **yos** » 03 Fév 2010, 16:09

Si U(n) désigne le groupe des racines n-ième de 1, OK; si c'est le groupe unitaire de

, ça me dépasse.

Comme je pense que tu penses au premier cas, il s'agit de représenter Z/nZ, ou plus généralement un groupe cyclique

d'ordre n. Des groupes isomorphes donnent les "mêmes" représentations.

Il suffit de trouver les caractères. Pour un groupe abélien comme

, les caractères sont simplement les morphismes de

dans

. Un tel morphisme f est entièrement déterminé par l'image d'un générateur a. Je note la loi de

multiplicativement.

donc

donc f(a) est une racine n-ème de 1 donc n choix possibles (au plus, mais on voit qu'ils sont tous admissibles) Donc n représentations irréductibles de

.

par **barbu23** » 03 Fév 2010, 18:17

yos a écrit:Si U(n) désigne le groupe des racines n-ième de 1, OK; si c'est le groupe unitaire de , ça me dépasse.

Comme je pense que tu penses au premier cas, il s'agit de représenter Z/nZ, ou plus généralement un groupe cyclique d'ordre n. Des groupes isomorphes donnent les "mêmes" représentations.

Il suffit de trouver les caractères. Pour un groupe abélien comme , les caractères sont simplement les morphismes de dans . Un tel morphisme f est entièrement déterminé par l'image d'un générateur a. Je note la loi de multiplicativement. donc donc f(a) est une racine n-ème de 1 donc n choix possibles (au plus, mais on voit qu'ils sont tous admissibles) Donc n représentations irréductibles de .

Merci Yos pour ces precisions ! :happy3:
Après avoir déterminer l'expression des

caractères possibles ! Si on prend, un de ces caractères, la representation de

est

?
Merci d'avance ! :happy3:

par **yos** » 03 Fév 2010, 18:28

Oui car pour un groupe commutatif les rep. irréductibles sont de degré 1, donc à valeurs dans C (pour g dans G, f(g) est linéaire de C dans C).

par **barbu23** » 03 Fév 2010, 18:49

yos a écrit:Oui car pour un groupe commutatif les rep. irréductibles sont de degré 1, donc à valeurs dans C (pour g dans G, f(g) est linéaire de C dans C).

Oui, mais ce que je ne comprends pas est que pour :

, le caractère

verifie :

et non ,

, donc, pas comme ce que tu dis ! Enfin, je ne sais pas ! :happy3:

par **barbu23** » 03 Fév 2010, 19:15

svp, un petit coup de main ! :happy3:

par **barbu23** » 03 Fév 2010, 20:25

svp, un petit coup de main ! :happy3:

par **yos** » 03 Fév 2010, 20:36

yos a écrit:(pour g dans G, f(g) est linéaire de C dans C).

t'es sûr de m'avoir lu?

par **barbu23** » 03 Fév 2010, 20:39

yos a écrit:t'es sûr de m'avoir lu?

Oui, mais dans le concret on a pas

une application linéaire ! :happy3:

:

et non

une application linéaire de

dans

! :happy3:

par **yos** » 03 Fév 2010, 21:39

Par définition d'une représentation, si!
f(g) est une application linéaire (bijective) de C dans C.
Et

est un morphisme de G dans GL(C).

Après j'y peux rien si les applications linéaires de C dans C sont les

et donc correspondent aux complexes "a".

par **barbu23** » 04 Fév 2010, 12:30

Voilà ! merci !

Le

là, c'est pas

? :happy3:
C'est à dire :

:

! c'est ça non ? :happy3:

par **yos** » 04 Fév 2010, 13:24

barbu23 a écrit: : ! c'est ça non ? :happy3:

Ca veut dire quoi le produit gx d'un élément de G par un complexe?

par **barbu23** » 04 Fév 2010, 13:38

Je ne sais pas, le produit tensoriel ! :arme3: :lol2:
Mais, je ne comprends serieusement rien ! :happy3:
ça veut dire quoi toute cette histoire de caractère de

... etc ... je sais pas quoi d'autres ... : pour que finalement, on prend n'importe quelle application linéaire sur

, et on l'associe à un élément quelconque de

alors que

n'a aucun lien avec les applications linéaires sur

... on aurait fait ça dès le depart comme ça sans passer par les caractères ni à rien du tout ! on associe à chaque element de

une application linéaire, et voilà une representation pour n'importe quel element de

! :zen:
Quel est donc, le but de passer par tout ce jargon : caractères de

... etc ! :happy3:

par **Finrod** » 04 Fév 2010, 13:47

Regarde le belle explication que t'avait faite yos :

Toute représentation de G se décompose en somme directe de ces représentations irréductibles.
Elles sont déterminées, à isomorphisme près, par G uniquement.
Elles sont caractérisées par leur caractère qui va de G dans C.
Plus généralement, tout ça sert à récupérer des infos sur un groupe G en le réalisant comme groupe de matrices.
Le mieux c'est de remonter ses manches et de chercher les représentations irréductibles de groupes petits.

Le fait que à tout élément de G on associe une application linéaire, c'est la définition d'une action de G, il n'y a rien de plus à dire.

Après pour analyser plus en détail cette action, on étudie le groupe G, par ex en décomposant les elts en elts mieux connus comme les irréductibles.

C'est ce que dit Yos, ces notions servent à récupérer des infos sur G et non à définir l'action de G i.e la notion de représentation.

par **yos** » 04 Fév 2010, 17:51

C'est un cours de M1, pas un truc qu'on apprend entre le fromage et le dessert. Sur le forum, tu peux avoir des précisions sur des trucs qui coincent mais de là à tout refaire...
Le livre fondateur en français est celui de Serre (les 20 premières pages donnent une bonne idée du truc). Par la suite il y en a eu d'autres (Malliavin, Rausch (?)). Le traité de Lang en parle aussi (mais faut aimer Lang). Tu dois bien pouvoir trouver un pdf en ligne sinon.

par **barbu23** » 04 Fév 2010, 20:03

Bonjour : :happy3:
Merci pour ces precisions à vous deux ! :happy3:
Il y'a un truc que je ne comprends pas dans ce qui suit : ( Celà figure preque à la fin du cours, donc je brule beaucoup d'etapes pour comprendre ça, mais peu importe :+++: ) :happy3:
On note :

.

est un groupe abelien.
Je voudrai savoir pourquoi les representations irreductibles continues de dimension

sont de la forme :

avec :

MErci d'avance ! :happy3:

par **barbu23** » 04 Fév 2010, 20:06

Finrod a écrit:

Le fait que à tout élément de G on associe une application linéaire, c'est la définition d'une action de G, il n'y a rien de plus à dire.

Après pour analyser plus en détail cette action, on étudie le groupe G, par ex en décomposant les elts en elts mieux connus comme les irréductibles.

C'est ce que dit Yos, ces notions servent à récupérer des infos sur G et non à définir l'action de G i.e la notion de représentation.

Oui, c'est vrai ! ça resume enormement de choses ! merci pour ce que tu m'écris là yos ! :happy3:

par **barbu23** » 04 Fév 2010, 20:12

svp, un petit coup de main ! :happy3:

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