Recherche exercice sur les polynômes

par **Dinozzo13** » 31 Jan 2010, 16:45

Nightmare a écrit:1)Calculer

Tiens déjà, pour le 1°) je trouve :

par **Nightmare** » 31 Jan 2010, 16:48

J'ai le malheur de t'informer que c'est incorrect.

En fait, comme je l'ai dit, la difficulté de l'exercice est qu'il y a beaucoup de calcul. Qu'est-ce qui est alors difficile? De ne pas se gourer dans les calculs :lol3:

par **Dinozzo13** » 31 Jan 2010, 16:51

Nightmare a écrit:Cite donc à Sylviel un polynôme borné histoire d'être plus précis !

:lol3:

Ah oui, je viens de remarquer que ce n'est évident voire possible de trouver un polynôme borné.
Là, vite fait, il me semble que les polynômes de degré impair ne sont pas bornés, alors que les polynômes de degré pair, suivant le signe du coefficient du terme de plus haut degré, est exclusivement minoré ou bien majoré.

par **Dinozzo13** » 31 Jan 2010, 16:55

Dinozzo13 a écrit:Tiens déjà, pour le 1°) je trouve :

Je vais donc refaire tout mes calculs.
Il est vrai qu'ils sont lassant.

par **Nightmare** » 31 Jan 2010, 16:56

Dinozzo13 a écrit:Là, vite fait, il me semble que les polynômes de degré impair ne sont pas bornés

Exact! Pourquoi?

alors que les polynômes de degré pair, suivant le signe du coefficient du terme de plus haut degré, est exclusivement minoré ou bien majoré.

Exact! Pourquoi?

:lol3:

par **Nightmare** » 31 Jan 2010, 16:57

Dinozzo13 a écrit:Je vais donc refaire tout mes calculs.
Il est vrai qu'ils sont lassant.

Tu peux toujours remplacer a, b et c par des valeurs au choix (pas trop simples histoire de ne pas avoir des simplifications autre que celles attendues) et voir la généralisation après, au moins pour te faire une idée de l'exercice.

par **Dinozzo13** » 31 Jan 2010, 17:06

Je ne sais pas si ça justifie, mais :
Les polynomes P de degré pair ont la même limite en

et

. De plus, il sont soit minoré ou bien majoré par un réel qui correspond l'abscisse du sommet de la courbe représentative de P qui est une parabole.
A l'inverse, les polynômes de degré impair ont une limites

et

infiniment grande et opposée donc il ne peuvent-être bornés.

par **Nightmare** » 31 Jan 2010, 17:11

Hum, et rigoureusement écrit histoire de voir si c'est bien ce que j'ai compris?

par **Dinozzo13** » 31 Jan 2010, 17:25

Soit le polynôme P défini pour tout réel x par :

.
1er cas : n pair
Si

alors

et il existe un réel

tel que, pour tout

:

.
Si

alors

et

.
Si

alors

et

.

par **Nightmare** » 31 Jan 2010, 17:47

C'est presque juste. Comment justifies-tu l'existence du minorant (ou du majorant) dans le cas pair?

Ensuite ce que tu as écrit pour le cas pair n'est pas vrai pour tous les entiers pairs... :lol3:

par **Dinozzo13** » 31 Jan 2010, 18:09

Nightmare a écrit:C'est presque juste. Comment justifies-tu l'existence du minorant (ou du majorant) dans le cas pair?

son abscisse est le sommet de la courbe représentative du polynôme P

Nightmare a écrit:Ensuite ce que tu as écrit pour le cas pair n'est pas vrai pour tous les entiers pairs... :lol3:

Les entiers pairs strictement positifs.

par **Nightmare** » 31 Jan 2010, 18:15

Dinozzo13 a écrit:son abscisse est le sommet de la courbe représentative du polynôme P

Alors je reprends ma question : Comment justifies-tu que la courbe a un "sommet"?

Les entiers pairs strictement positifs.

D'accord... et donc? Pour 0 ?

par **Dinozzo13** » 31 Jan 2010, 18:29

Nightmare a écrit:Alors je reprends ma question : Comment justifies-tu que la courbe a un "sommet"?

Ben, pour le second degré, je sais que le sommet a pour abscisse

mais après je ne sais pas l'étendre sur le degré 4, 6 etc.

Nightmare a écrit:D'accord... et donc? Pour 0 ?

Si

alors

,

est constant et

voire même que pour tout y réel :

par **Dinozzo13** » 31 Jan 2010, 19:02

Dinozzo13 a écrit:Tiens déjà, pour le 1°) je trouve :

J'ai refais mes calculs et je trouve :

.

par **Dinozzo13** » 31 Jan 2010, 19:11

Pour la 2°) :
Je fais juste :

ce qui donne

Est-ce bon ?

par **Nightmare** » 31 Jan 2010, 20:08

Dinozzo13 a écrit:Si alors , est constant et voire même que pour tout y réel :

Euh oui et alors? au final ils sont bornés ou pas les polynômes constant?

Pour mon exercice, tes calculs ne sont toujours pas bon (j'ai vérifié au cas où, il n'y a pas d'erreur d'énoncé)

par **Dinozzo13** » 31 Jan 2010, 21:08

Dinozzo13 a écrit:J'ai refais mes calculs et je trouve :
.

Ca fait trois fois que je trouve la même chose, donc si tu pouvais m'indiquer le problème.

Je dirai qu'un polynome constant est borné, mais je ne sais pas comment l'encadrer pour montrer qu'il y un majorant et un minorant.

par **Nightmare** » 31 Jan 2010, 23:25

Je ne sais pas comment tu fais tes calculs mais ils sont faux.

Début du développement :

C'est ce que tu as trouvé ? Cela m'étonnerait à la vue de ton coefficient de y² !

Concernant le fait de trouver un majorant ou un minorant d'un polynôme constant, c'est complètement trivial : Si ton polynôme constant vaut a, n'importe quel réel plus grand que a est un majorant et n'importe quel réel plus petit est un minorant !!

par **Sylviel** » 31 Jan 2010, 23:35

Nightmare il me semble qu'il y a une petite erreur pour le coefficient en y de ton cube (y'a un coefficient 3 disparut non ?), et c'est un -a^3/27

Effectivement les seuls polynomes bornés sont les polynomes constants...

Et qu'en est-il des polynomes périodiques ?

Et puis si tu veux t'amuser tu as toujours les liens entre coeff et racines à expliciter...

par **Nightmare** » 31 Jan 2010, 23:39

Salut Sylviel !

Oui, tu as raison, je corrige mon premier

:happy3:

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