Recherche exercice sur les polynômes

[Dinozzo13]

Bonjour, je recherche des exos intéressant, pas forcément dur, sur les polynomes niveau 1S, car j'en ai marre de toujours croiser les mêmes exercices.

[Nightmare]

Salut,

dans ce cas quel genre d'exercice veux-tu? Des exercices théoriques sur les polynômes? Quel bagage as-tu au niveau de ce sujet?

[Dinozzo13]

Salut !
Nam, pas du théorique cette fois-ci.
Je connais le cours de 1re S sur les polynômes + Résolution d'équation niveau 1S.
(où 'y a du calcul mais où il faut réfléchir quand même)

[Dinozzo13]

:cry: Aucune proposition ???

[Nightmare]

Tiens, il devrait t'amuser :

On pose . (a,b et c complexes)

1)Calculer

2)Soit y vérifiant.

On pose, .

-Trouver une équation du 3ème degré (dont les coefficients sont fonctions de et ) vérifiée par z.
-Déterminer et pour que cette équation soit de la forme

3) En déduire en fonction de a, b et c les solutions de l'équation P(x)=0

:happy3:

[Dinozzo13]

Ah merci, c'est cool mec :king2:
je m'y met tout de suite.

[Dinozzo13]

A la question 2°), il y a rien à faire.

[Sylviel]

Petits exercices très faciles, mais néanmoins sortant du cadre habituel du lycée :

Combien un polynome a-t-il de racines au maximum ?
qu'est-ce qu'un polynome constant ?
qu'est-ce qu'un polynome périodique ?
Montrer qu'un polynome de dégré impaire a au moins une racine.

plus dur (tu peux poser des questions d'abord):
si un polynome s'écrit établir un lien entre ses racines et de même pour
Si t'es vraiment courageux tu peux généraliser pour tout a_k...

Bon courage

[Dinozzo13]

Petits exercices très faciles, mais néanmoins sortant du cadre habituel du lycée :

1°) Combien un polynome a-t-il de racines au maximum ?
2°) qu'est-ce qu'un polynome constant ?
3°) qu'est-ce qu'un polynome périodique ?
4°) Montrer qu'un polynome de dégré impaire a au moins une racine.

plus dur (tu peux poser des questions d'abord):
5°) si un polynome s'écrit établir un lien entre ses racines et de même pour
6°) Si t'es vraiment courageux tu peux généraliser pour tout a_k...

Bon courage

1°) Si un polynome est de degré n, alors il a au maximum n racines.
2°) Un polynôme constant est un réel k quelconque.
Après le reste je sais pas.

[Skullkid]

Ça mérite quand même une petite preuve, surtout pour le nombre maximal de racines.

[Nightmare]

Ah merci, c'est cool mec :king2:
je m'y met tout de suite.

Oui désolé, le 3) c'est le 2) en fait.

[Sylviel]

J'avais oublié un très facile aussi (plus que périodique) : qu'est-ce qu'un polynome borné ?

[Dinozzo13]

3)On pose, .

-Trouver une équation du 3ème degré (dont les coefficients sont fonctions de et ) vérifiée par z.
-Déterminer et pour que cette équation soit de la forme

Je comprends pas bien la question, pourrais-tu être un peu plus précis.

[Nightmare]

Qu'est-ce que tu ne comprends pas? Tout est bien explicité.

[Dinozzo13]

enfin, c'est plutôt un doute, quand tu dis, trouver une équation du 3ème degré vérifiée par z, je dois trouver une équation de la forme où y est solution de cette équation ?
Je remarque qu'il y a beaucoup de lettres, c'est normal ?

[Nightmare]

Tu dois chercher une équation dont z est solution, sachant que y en vérifie une autre et qu'on a une relation entre y et z.

Un exemple du même ordre :

On suppose que y vérifie l'équation et on pose , tu es d'accord que z vérifie l'équation ?

Bon ici c'est pareil. y vérifie une certaine équation Q(y)=0. On pose (ou alpha et beta sont pour le moment quelconque) et on cherche une équation vérifie par z.


Si ça peut t'aider, le principe de l'exercice est la résolution des équations du 3ème degré (par une méthode différente de la méthode de Cardan). Les 2 questions consistent en la simplification de cette équations par des changements de variables (d'où l'apparition de plusieurs lettres). En gros, l'exercice permet de prouver qu'on peut ramener toute équation du 3ème degré à une équation de la forme qu'on sait résoudre facilement.

:happy3:

[Nightmare]

L'exercice n'est pas facile parce qu'il y a pas mal de calcul et il ne faut pas s'y perdre mais c'est ce que tu voulais non? Tu m'as dit pas de théorique :lol3:

[Dinozzo13]

Ouais ouais, c'est super :++: C'est juste au début toutes ces lettres, ça impressionnent ^^.

[Dinozzo13]

J'avais oublié un très facile aussi (plus que périodique) : qu'est-ce qu'un polynome borné ?

Un polynôme est dit borné s'il est à la fois majoré et minoré, c'est-à-dire, s'il existe deux réels et tels que, pour tout réel : .

[Nightmare]

Cite donc à Sylviel un polynôme borné histoire d'être plus précis !

:lol3: