N!

[Anonyme]

prove que n! < (n/2)^n et n > 1

merci

[yos]

Mais pour n>5, c'est une simple récurrence (utilisant la minoration qui se fait avec Bernoulli par exemple).

[isortoq]

On a une majoration valable pour tout n, mais un peu moins bonne, en utilisant la concavité de la fonction ln :

n!<[(n+1)/2]^n

[isortoq]

Mais pour n>5, c'est une simple récurrence (utilisant la minoration qui se fait avec Bernoulli par exemple).

Bernoulli ?

En fait, y'a plus simple il me semble puisque pour x>0 on a : (1+x)^n>1+nx

[yos]

Bernoulli ?

En fait, y'a plus simple il me semble puisque pour x>0 on a : (1+x)^n>1+nx

C'est ce qu'on appelle l'inégalité de Bernoulli!!

[isortoq]

C'est ce qu'on appelle l'inégalité de Bernoulli!!

AH BON !... décidément toutes les inégalités ont un nom célèbre...

[yos]

Il y a aussi plus simple : (n+1)^n est le nombre de façons d'extraire n boules d'une urne qui en renferme n+1 (tirage avec remise) et 2n^n est le nombre de ces tirages pour lesquels une boule donnée a été tirée au plus une fois.
D'où : c'est l'inégalité cherchée.

[megrabi]

Ah , je vois qu il ya bcp de solutions.

mais peut quelqu un faisez cette exercise:

soit a ,b et c des entiers strictement positifs tels que :
a/b+b/c+c/a est un entier
montrer que abc est un cube.

merci

[aviateurpilot]

Soit p un nombre premier,et et les valuations p-adiques
de et . On veut montrer que a'+b'+c' est un multiple de 3.
on a
Il en résulte que l’un au moins des trois entiers et est négatif. Si aucun
n’est strictement négatif, c’est que et est bien muliple de 3. Sinon, pour que >ou =0 ,
on suppose que et et
dans ce cas on aura
et puisque on va trouver un nombre a'+b'+c'=3b' (multiple de 3)
donc si p divise abc est divisible par 3
donc est un cube