Suites récurrentes linéaires et plus.

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Doraki
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Suites récurrentes linéaires et plus.

par Doraki » 04 Juin 2009, 11:44

BONSOIR

On considère un polynôme unitaire à coefficients dans C de degré k >= 2,

Image
On suppose que les racines de P sont simples et de modules distincts.

On prend 2k-1 nombres génériques dans C, Image.

On définit les suites Image et Image par récurrence :
Image
et
Image
Déterminer les limites de Image et Image
(on considère que les premiers termes des suites sont génériques, on a le droit de supposer qu'ils ne vérifient aucune équation d'un ensemble dénombrable d'équations polynomiales fixé à l'avance (il en faut déjà pour dire que (vn) est bien définie)).



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par Doraki » 25 Jan 2010, 22:19

Up !
(c'est vrai quoi moi j'aime bien cet exo)

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par Ben314 » 25 Jan 2010, 22:59

Tient, c'est vrai, j'avais commencé à cherché.... puis je l'avais oublié celui là (peut être aussi parce que j'avais pas trouvé grand chose...)
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par Ben314 » 26 Jan 2010, 00:43

Bon, pour le , fastoche.
L'autre, je sais pas encore...

Par contre, est-ce que tu sais pourquoi tes formules LaTeX apparaissent comme des images lorsque l'on "cite" ton post ?
Je_sais_plus_qui avait ce problème (il me semble que ce n'était pas toi) et personne n'a su lui répondre...

EDIT : Vicieux comme c'est j'intuiterais bien que tend vers la deuxième plus grande (en module) racine de P...
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par Ben314 » 26 Jan 2010, 01:03

Bon, ça fait 3 fois que je me plante dans la factorisation de par (où est la plus grande racine de en module), mais je maintient ma première hypothèse : tend vers la deuxième plus grande (en module) racine de .

Par contre, "ma" preuve est à peine incomplète : j'ai tel le gros boeuf remplacé par dans la définition de alors qu'il faudrait un peu "justifier"...(mais j'ai la flemme)
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par Doraki » 26 Jan 2010, 17:41

Oui, on peut montrer proprement que chaque suite est convergente vers une racine différente de P,
que un+1/un tendra presque tout le temps vers la plus grande,
et je suis aussi tenté de dire que vn+1/vn tendra presque tout le temps vers la deuxième plus grande.
Je dois dire que j'ai pas de vraie preuve pour le "presque tout le temps" non plus ni de contre-exemple non trivial.
Mais j'ai pas encore trop approfondi là dessus.

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par Ben314 » 26 Jan 2010, 17:59

Je ne l'ait pas encore écrit, mais pour le V(n+1)/Vn, je me demande si on ne peut pas se rammener au cas standard en consdérant un (gros) vecteur colonne Xn de taille (k-1)² contenant tout les produits V(n-i).U(n-j) avec 0<=i,jSauf erreur, X(n+1) s'obtient alors en multipliant (à gauche) Xn par une (grosse) matrice A.
Reste à calculer le polynôme caractéristique de cette matrice (qui contient un paquet de 0, quelques 1 et les a_k...)
On ce ramène ainsi à un problème plus classique, mais je ne sais pas ce que l'on obtient (c'est TRES louche de ne pas utiliser la définition des Un...)
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par Doraki » 26 Jan 2010, 18:59

Je vois pas trop comment tu peux obtenir U(n+1-k) * V(n+1) comme combinaison linéaire des U(n-i)*V(n-j) lorsque k>0.
U(n+1)*V(n+1) ok avec la définition de V.
U(n+1)*V(n+1-k) ok avec la définition de U.
Mais l'autre bord ? =/

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par Ben314 » 26 Jan 2010, 19:08

Doraki a écrit:Je vois pas trop comment tu peux obtenir U(n+1-k) * V(n+1) comme combinaison linéaire des U(n-i)*V(n-j) lorsque k>0.
U(n+1)*V(n+1) ok avec la définition de V.
U(n+1)*V(n+1-k) ok avec la définition de U.
Mais l'autre bord ? =/
C'est pas faux...
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par Doraki » 28 Jan 2010, 14:42

Si P est de degré 2, on a pas de problème.
Si n > 2, en interprétant la fonction (un-1...un-k,vn-1...vn-k+1) -> (un...un-k+1,vn...vn-k+2) sur le compact K = Pn-1(C)*Pn-2(C),
ça nous donne une fonction qu'on peut prolonger continument de K -> K (mais pas inversible).
On en déduit quand même qu'une suite obtenue a une valeur d'adhérence, et en faite une seule en y regardant plus près.
Donc la suite tend vers un truc du genre ((µ1^(n-1):...:µ1²:µ1:1),(µ2^(n-2):...:µ2:1)) où µ1 et µ2 sont deux racines distinctes de P.

On peut décrire l'endroit où (un:...:u1) ne rejoint pas la plus grande racine avec une équation linéaire.
Je ne pense vraiment pas qu'on puisse décrire l'endroit où (vn-1:...:v1) ne rejoint pas la deuxième plus grande algébriquement, bien que ça devrait ressembler à une surface.

Ca devrait être possible de montrer que vn+1/vn tend bien vers la 2ème plus grande racine presque sûrement quand même.

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par Ben314 » 28 Jan 2010, 15:05

Doraki a écrit:Ca devrait être possible de montrer que vn+1/vn tend bien vers la 2ème plus grande racine presque sûrement quand même.
Je me disait exactement la même chose : Intuitivement, c'est une réunion dénombrable "d'hypersurfaces" (tes fameuses d'équations polynomiales fixé à l'avance) mais je ne vois pas comment le montrer alors que je vois assez bien le coté "presque partout" (au sens lebesgue).

Pour la preuve du fait que la limite de Vn+1/Vn est la deuxième plus grande racine (en module) presque surement (au sens de lebesgue), j'aurais tendance à écrire la deuxième formule sous la vorme v_n=... et utiliser le fait que u_{n-i}/u_n tend vers lambda^{-i} (pour toute les valeurs de (u_0,...,u_n-1) sauf celles pour lesquelle le coeff. en \lambda est nul [c'est pas clair, mais tu voit ce que je veut dire])
A mon avis, en utilisant un peu d'analyse, la déf. récursive de v_n tend vers une définition récursive linéaire (dont les coeff sont ceux de P(X)/(X-lambda) ) et je pense (pas sûr) qu'on doit pouvoir montrer que, presque surement, le comportement de v_n est le même que celui donné par la récursion linéaire...
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par Doraki » 28 Jan 2010, 15:40

Ben314 a écrit:A mon avis, en utilisant un peu d'analyse, la déf. récursive de v_n tend vers une définition récursive linéaire (dont les coeff sont ceux de P(X)/(X-lambda) ) et je pense (pas sûr) qu'on doit pouvoir montrer que, presque surement, le comportement de v_n est le même que celui donné par la récursion linéaire...


Oui c'est construit exprès pour qu'on retrouve le polynôme P/(X-lambda).

Si on suppose que un ne s'annule jamais, alors la suite (un/un-1) reste loin de 0 (est minorée en module), je pense qu'on a pas trop de problème à montrer des trucs comme quoi l'application T de Pn(C) dans PGL(n-1)(C) qui à Un = (un : ... : un-k+1) associe la transformation Vn-1 = (vn-1 : ... : vn-k+1) -> Vn = (vn : ... : vn-k+2) est continue,

On sait que "µ2" = (µ2^(n-2) : ... : µ2 : 1) est un point fixe attracteur de l'application f = T(lim Un) = lim T(Un) ; et qu'on a une surface fixe S répulsive où se trouve les autres racines plus petites de P.

Si on prend un voisinage ouvert O de µ2, en prenant un fermé F entre O et f-1(O), l'ensemble des transformations g de PGL(n-1)(C) telles que g(F) est inclus dans O, est un ouvert (si je me trompe pas).

Ce qui fait que à partir d'un certain rang on sait qu'on peut piéger Vn à l'intérieur de O.

En itérant ce genre de truc on peut montrer que pour tout fermé F qui ne rencontre pas S, et pour tout ouvert O qui qui contient "µ2", alors il existe un rang à partir duquel si Vn est dans F alors il finit par se trouver coincé dans O.

En itérant encore, ça montre que pour tout fermé F qui ne rencontre pas la surface fixe, il existe un rang à partir duquel si Vn est dans F alors Vn tend vers "µ2", i.e. vn+1/vn tend vers µ2.

Ce qui reste à faire serait d'estimer la dépendance de ce rang avec la distance de F à S. Et là il faut commencer à vraiment faire de l'analyse (DLs et compagnie)

 

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