Ben314 a écrit:A mon avis, en utilisant un peu d'analyse, la déf. récursive de v_n tend vers une définition récursive linéaire (dont les coeff sont ceux de P(X)/(X-lambda) ) et je pense (pas sûr) qu'on doit pouvoir montrer que, presque surement, le comportement de v_n est le même que celui donné par la récursion linéaire...
Oui c'est construit exprès pour qu'on retrouve le polynôme P/(X-lambda).
Si on suppose que un ne s'annule jamais, alors la suite (un/un-1) reste loin de 0 (est minorée en module), je pense qu'on a pas trop de problème à montrer des trucs comme quoi l'application T de Pn(C) dans PGL(n-1)(C) qui à Un = (un : ... : un-k+1) associe la transformation Vn-1 = (vn-1 : ... : vn-k+1) -> Vn = (vn : ... : vn-k+2) est continue,
On sait que "µ2" = (µ2^(n-2) : ... : µ2 : 1) est un point fixe attracteur de l'application f = T(lim Un) = lim T(Un) ; et qu'on a une surface fixe S répulsive où se trouve les autres racines plus petites de P.
Si on prend un voisinage ouvert O de µ2, en prenant un fermé F entre O et f-1(O), l'ensemble des transformations g de PGL(n-1)(C) telles que g(F) est inclus dans O, est un ouvert (si je me trompe pas).
Ce qui fait que à partir d'un certain rang on sait qu'on peut piéger Vn à l'intérieur de O.
En itérant ce genre de truc on peut montrer que pour tout fermé F qui ne rencontre pas S, et pour tout ouvert O qui qui contient "µ2", alors il existe un rang à partir duquel si Vn est dans F alors il finit par se trouver coincé dans O.
En itérant encore, ça montre que pour tout fermé F qui ne rencontre pas la surface fixe, il existe un rang à partir duquel si Vn est dans F alors Vn tend vers "µ2", i.e. vn+1/vn tend vers µ2.
Ce qui reste à faire serait d'estimer la dépendance de ce rang avec la distance de F à S. Et là il faut commencer à vraiment faire de l'analyse (DLs et compagnie)