Sérieux problème avec le second dregré/ Dérivées.

par **The Nutshell** » 27 Jan 2010, 18:13

Re-Bonjour à tous.

Je m'en suis finalement sorti vivant du Devoir de trigo, grâce à l'aide précieuse des membres de ce forum. Cependant, un deuxième DM nous est tombé dessus avant même d'avoir rendu le premier...

Le must: Il n'a strictement rien à voir avec notre leçon en cours (Les probabilités). Mais il est entièrement basé sur les polynômes de Second Degré, ainsi que des dérivées.

Je vous laisse découvrir:

I) Déterminer la fonction polynôme f de degré 2 définie par f(x) = ax² + bx + c dont la courbe représentative (C) présente en son point A d'abscisse 2 une tangente horizontale et en B d'abscisse 1, la droite d'équation y= 6x-7 comme tangente.

2) Lorsqu'on veut équarrir un tronc d'arbre de manière à donner à la poutre obtenue la plus grande résistance possible à la flexion, on se garde bien de la faire de section carrée, mais toujours "plus haute que large". Si la base est x et la hauteur h, on montre en mécanique que la résistance est d'autant plus grande que xh² est grand.

1) On suppose que le diamètre D du tronc mesure 3 m.

a) Montrer que xh² = -x^3 + 9x

b) Soit G(x) = -x^3 + 9x. Etudier le sens de variation de G, puis déterminer x et h de façon que la poutre ait le maximum de résistance à la flexion.

2) Reprendre le problème dans le cas général : le diamètre du tronc est égal à D (Déterminer x et h en fonction de D)

III) Soit f la fonction numérique de variable x définie sur ;) par f(x) = x - 1 + (2x / x² + 1)

On désigne par (C) la courbe représentative de f dans un repère orthonormal (O, i , j)

1) Etablir que f ' la fonction dérivée de f est définie par f '(x) = (x^4 + 3) / (x²+1)²

En déduire le sens de variation de variation de f, dresser également son tableau de variation.

2) Démontrer que le point I( 0 ; -1 ) est centre de symétrie de (C).

3) Déterminer une équation de (T) la tangente à (C) en I. Etudier la position relative de (C) et (T).

4) Tracer la droite (d), dont l'équation est y= x-1 . Préciser la position relative de (C) et (D).

5) Démontrer que (C) admet deux tangentes (T1) et (T2) parallèles à (D°. Donner leurs équations.

6) Démontrer que, pour tout x réél, x-2 ;) f(x) ;) x. Comment interpréter graphiquement ce résultat?

7) Tracer (C) ( D) ( T ) ( T1) et (T2).

8) Discuter graphiquement, selon les valeurs de m réél, le nombre de solutions de l'équation f(x) = x + m. Retrouver ces résultats algébriquement.

*------------*

Voilà l'énoncé, je posterai bientôt ce que j'ai fait au brouillon.

Ce n'est pas tant les solutions qui m'intéresse réellement avant toute chose, c'est surtout de comprendre la méthode et la démarche, parce que je sèche pas mal... :briques:

Merci d'avance pour tout ceux qui auront le courage de lire tout ça et de m'aider un p'tit peu!

The Nutshell.

par **The Nutshell** » 28 Jan 2010, 17:58

Hop hop hop, voilà mes propositions!

I) Nous savons que la dérivée de f en B est la suivante:

y = 6x - 7

Sachant que la formule de la dérivée est:

y = f' (x° ) (x - x°) + f(x°)

Or f ' (1) = 6

(Vu que le coefficient directeur est égal à l'image de x° par f ' )

Nous avons:

f ' (1) (x - 1) + f (1)

= 6x - 6 - 1 = 6x - 7

Donc:

f ( 1 ) = ( -1)

C'est comme si nous avions:

a x 1² + b x 1 + c = - 1

Il est précisé ensuite que A, un point d'abscisse 2 dispose d'une tangente horizontale; donc le coefficient directeur est nul:

f ' (2) = 0

Après je bloque un peu, je sais cependant qu'il faut se ramener à un système d'équation à 3 inconnues:

Si on sait que f(1) = -1

f(1) = a + b + c = - 1

Mais je n'arrive pas à avoir d'autre relations...

Je suis en train de plancher sur le II) je posterai bientôt mes propositions! :we:

Merci à tous!

par **Sa Majesté** » 28 Jan 2010, 20:32

Quelle est la forme générale d'un polynôme du second degré ?
Ensuite calcule f'(x)
f'(2)=0 te donne une équation
f'(1)=6 te donne une autre équation

par **The Nutshell** » 30 Jan 2010, 17:30

Si je comprend bien, pour x=2, nous avons:

2a x 2 + b = 0

et pour x = 1

2a + b = 6?

par **Sa Majesté** » 30 Jan 2010, 20:36

C'est exact

par **The Nutshell** » 30 Jan 2010, 20:54

Donc nous avons

*) 4a + b = 0

b = - 4a

*) 2a + b = 6

Si on substitue:

2a - 4a = 6

-2a = 6

a = 6/ -2

a= -3

En remplaçant dans la première équation, nous aurons

4 x - 3 + b = 0

b = 12

Et comme

a + b + c = - 1

a = - 3
b= 12
c= -10

C'est mon dernier obstacle du DM, je dois avouer que je ne suis pas très fort en systèmes d'équations...

par **Sa Majesté** » 30 Jan 2010, 20:56

Oui c'est bon :++:

par **The Nutshell** » 30 Jan 2010, 21:13

Merci!

Je dois dire que je suis Au Service Secret de Sa Majesté! (Pardon, il fallait que je la fasse ! :we: )

Encore merci!

par **Sa Majesté** » 30 Jan 2010, 21:15

Si c'est secret alors il ne faut pas le dire ! :langue2:

Allez, bonne continuation ! :zen:

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