Résolution de l'équation exp(x) = sin(x)

[Helidjah]

Bonjour,

Je cherche à résoudre l'équation exp(x) = sin(x) sur ou plus généralement .exp(x) = sin(x) avec un réel.

Je ne m'en sors pas en écrivant le sinus avec des exponentielles complexes.

J'ai essayé avec les outils informatiques dont je dispose mais ils ne peuvent résoudre des équations que par des méthodes "algébriques".

Il est possible, grâce à une étude de variations, de montrer l'existence de solutions sur certains intervalles. On prouve comme ça qu'il existe une infinité de solutions.
Cependant, j'aimerais expliciter toutes les solutions. Et je doute que cela soit possible : on constate que, lorsque x devient très grand (ou très petit suivant le signe de la constante ), la contribution de l'exponentielle devient négligeable devant celle du sinus et les solutions diffèrent presque de la demi-période de sin. Après avoir déterminé l'intervalle sur lequel , il s'agit de trouver un terme correctif.
Peut-on écrire ce terme correctif de manière identique pour toutes les solutions ?
Dans le cas contraire, je n'ai plus d'idée pour résoudre l'équation.

Enfin, peu importe mon raisonnement : vos idées sont d'un bien plus grand intérêt !

[mathelot]

salut,

pas de solution pour
pour x<0 des solutions pseudo périodiques proche de

[Ben314]

Salut,
Tes solutions sont effectivement de la forme avec qui tend vers 0 lorsque k tend vers +infini.
En utilisant le développement limité du sinus, on doit pouvoir trouver le comportement assymptotique de lorsque k tend vers l'infini (c'est à dire une formule du type )

[Helidjah]

@ Ben314

Salut,
Je ne connais pas d'autre DL du sinus qu'en 0. Donc je ne suis pas sûr de bien comprendre l'idée (en utilisant la formule d'addition pour le sinus je suppose ?). Il est vrai que préciser le comportement asymptotique du terme correctif est intéressant.
J'aimerais cependant trouver une écriture explicite et exacte des solutions. Penses-tu qu'il en existe une ?

[Ben314]

A mon avis, il n'existe pas d'écritures explicites qui n'utilisent que les fonctions "élémentaires" (exp, ln, trigo et trigo inverse)...

[mathelot]

Salut Ben,

peux-tu montrer comment on obtient un DL asymptotique
avec des puissances de ?
j'en ai bien obtenu un , mais c'est avec des puissances de

[Ben314]

Salut Ben,
peux-tu montrer comment on obtient un DL asymptotique
avec des puissances de ?
j'en ai bien obtenu un , mais c'est avec des puissances de

Tu as surement raison du fait que le D.L. de est de la forme (Tu pense bien que j'avais pas fait le moindre calcul, ça m'aurait bien trop fatigué... :zen:)

[mathelot]

en passant au log

avec