Formule de Brahmagupta généralisée

[busard_des_roseaux]

Bonsoir,

j'aimerai bien avoir une indication pour démontrer la formule de Brahmagupta
généralisée (aire d'un n-gone inscriptible)

Le principal souci, c'est que je pars d'un calcul d'aires en ajoutant
des aires de triangles isocèles (somme) de côté R, alors que cette formule,
généralisant celle de Héron, est un produit.

Dans la démo de Héron, la formule d'aire n'est pas recherchée pour elle-même
mais résulte de la transformation de
par la loi des sinus et la formule du cosinus.

merci

[busard_des_roseaux]

hi,

the generalized Brahmagupta formula giving the n-gone area
seems to be

<----FALSE

where are lengths of vertices and p the half-perimeter.

Wolfram ignore it . Don't you know how to prove it ?

Best regards.

[Ben314]

Salut,
J'ai (un peu) regardé ta formule, mais elle me parrait louche...

Pour un hexagone régulier inscrit dans un cercle de rayon 1, on a :
a1=a2=...=a6=1 ; p=3 ; p-ai=2 ; p^(-n+2)*prod(p-ai)=3^-4*2^6=64/81
alors que S=6*(racine(3)/4) et S²=3^3/2^2=27/4...

soit je m'est gourré (fort possible) soit tu t'es gourré dans la formule soit... y'a pas de formule...

[busard_des_roseaux]

Salut Ben,



tu as raison, je vais déja regarder ce qu'elle donne sur un hexagone et un octogone...

@+


rem: exact, la formule est fausse :hum:

[Ben314]

En fait, je suis un peu con, ta formule n'est pas homogène (i.e. si les ai sont en mètres alors la surface n'est pas en métre carrés...) donc forcément fausse !!!

[busard_des_roseaux]

En fait, je suis un peu con, ta formule n'est pas homogène (i.e. si les ai sont en mètres alors la surface n'est pas en métre carrés...) donc forcément fausse !!!

faut re-tester :doh: j'ai mis l'exposant qui convient : -n+4 :hein:


bizarre: elle est fausse mais on trouve
pour l'hexagone. Il y a anguille sous roche :doh:

je regarde pour l'octogone.

[Doraki]

Pourquoi existerait-il une généralisation de la formule pour n>4 ?

[Ben314]

Pourquoi existerait-il une généralisation de la formule pour n>4 ?

Je "plussois" fortement.
En contemplant le demi périmètre p, le produit des p-a_i et la surface S dans le cas d'un polygone régulier à n cotés inscrit dans un cercle de rayon 1, et bien... il ne me vient pas grand chose à l'esprit.

[busard_des_roseaux]

Pourquoi existerait-il une généralisation de la formule pour n>4 ?

sans doute n'existe-t-elle pas. Mais si elle devait exister:
- comme projection plane d'une formule de volume en dimensions plus grandes
(rappelons que l'aire est une notion affine , construite à base de déterminants
et non pas métrique, malgré les apparences)
- passeque le n-gone est supposé inscriptible
- passeque les facteurs du style
(a+b+c+d)(a+b+c-d)(a+b-c+d)... on peut en rajouter ad nauseam