1 ère S : Nombre dérivé

[Titreuff54]

Bonjour à tous j'aurais besoin de votre aide pour faire cet exercice au quel je n'y comprends pas grnad chose, Merci :

1. Démontrer que la fonction inverse x -> 1/x est dérivable en 1.
2. Tracer sur le même graphique l'hyperbole et la tangente associée au point d'abscisse 1 sur l'intervalle [1/2;3/2] (unité 10 cm) (Fait sur GeoGebra)
En deduire qu'il existe une fonction telle que, pour tout x;)0 :
1/(1+h) = 1 - h + h * (h) et lim (h) = 0
h -> 0

3.
a) Simplifier 1/(1+h) - (1-h) pour h 0.
b) Démontrer que, pour tout h appartient à [-1/2 ; 1/2], on a :
2/3 1/(1+h) 2.
c) En déduire que l'erreur commise, lorsque l'on remplace 1/(1+h) par 1-h, est inférieur à 2h² si h appartient à [-1/2 ; 1/2].
d) Comparer la valeur donnée pour 1/(1+h) par l'approximation 1-h, pour
h= 3 . 10^-5^, à celle fournie par un calcul direct à la calculatrice.

Merci beaucoup par avance.

[Ben314]

Salut,
C'est principalement de la "traduction" de l'énoncé :
Ta fonction est f(x)=1/x donc le 1/(1+h) à gauche du =, tu peut dire que c'est f(1+h).
Tu doit aussi voire le 1 à droite du = comme étant en fait f(1).
Il faut donc que tu montre que : f(1+h) = f(1) - h + h*;)(h)
c'est à dire que : ( f(1+h) - f(1) ) / h = -1 + ;)(h)

Cela ne te fait penser à rien ?

[Titreuff54]

Salut,
C'est principalement de la "traduction" de l'énoncé :
Ta fonction est f(x)=1/x donc le 1/(1+h) à gauche du =, tu peut dire que c'est f(1+h).
Tu doit aussi voire le 1 à droite du = comme étant en fait f(1).
Il faut donc que tu montre que : f(1+h) = f(1) - h + h*;)(h)
c'est à dire que : ( f(1+h) - f(1) ) / h = -1 + (h)

Cela ne te fait penser à rien ?

Si cela me faits penser a lim ( f(a+h) - f(a) ) / h.

[Ben314]

Et cette limite vaut quoi ? Qu'en déduit tu ?

Indic. : dire que quelque_chose tend vers L, cela veut dire que (quelque_chose - L) tend vers 0...

[Titreuff54]

Et cette limite vaut quoi ? Qu'en déduit tu ?

Indic. : dire que quelque_chose tend vers L, cela veut dire que (quelque_chose - L) tend vers 0...

Cette limite tend vers 0 donc cette limite vaut 0.
Mais je n'en deduis rien.

[Ben314]

Lorsque h tend vers 0, le rapport ( f(a+h) - f(a) ) / h tend vers ???
(c'est dailleurs la définition de ???)

Indic : Non, ??? n'est en général pas égal à 0

[Titreuff54]

Lorsque h tend vers 0, le rapport ( f(a+h) - f(a) ) / h tend vers ???
(c'est dailleurs la définition de ???)

Indic : Non, ??? n'est en général pas égal à 0

Lorsque h tend vers 0, le rapport ( f(a+h) - f(a) ) / h tend vers 0
(c'est dailleurs la définition de f'(a) )

Indic : Non, f'(a) n'est en général pas égal à 0.

Je pense que c'est ca.
Peut tu me dire si f'(1) = -1/1 soit 1/x est dérivable en 1 ??

[Ben314]

Lorsque h tend vers 0, le rapport ( f(a+h) - f(a) ) / h tend vers f'(a)
(c'est dailleurs la définition de f'(a) )

Indic : Non, f'(a) n'est en général pas égal à 0.

Impec (modulo la "faute de frappe" en rouge).

Peut tu me dire si f'(1) = -1/1 soit 1/x est dérivable en 1 ??

Oui, tu as du trouver que, pour tout x non nul, on a f'(x)=-1/x², et donc que f'(1)=-1/1²=-1.

Cela signifie que, lorsque h tend vers 0, le rapport ( f(1+h) - f(1) ) / h tend vers f'(1)=-1, ce qui signifie bien que ce rapport est égal à -1 plus quelque chose qui tend vers 0 que, si on veut, on peut appeler epsilon(h).

[Titreuff54]

Impec (modulo la "faute de frappe" en rouge).

Oui, tu as du trouver que, pour tout x non nul, on a f'(x)=-1/x², et donc que f'(1)=-1/1²=-1.

Cela signifie que, lorsque h tend vers 0, le rapport ( f(1+h) - f(1) ) / h tend vers f'(1)=-1, ce qui signifie bien que ce rapport est égal à -1 plus quelque chose qui tend vers 0 que, si on veut, on peut appeler epsilon(h).

Je n'arrive pas a déduire l'equation de E(h).

[Ben314]

A mon sens, pour la question du 2), on ne te demande pas du tout qui est la fonction epsilon(h) mais simplement de montrer qu'elle existe en utilisant les arguments ci dessus.

Une "preuve" qu'on ne te le demande pas au 2), c'est que ... on te le demande au 3)a) !!!