Probabilitè

[ferfelue]

Dans une chambre des hommes déposent leurs chapeaux . on redistribue aléatoirement ces chapeaux.
Quelle est la probabilité que personne n'a eu son chapeau?

[Finrod]

Ton texte fait mal aux yeux. Bien que moi même mauvais en orthographe je tente une correction.

Dans une chambre, des hommes déposent leurs chapeaux. On leur (sans "s") redistribue aléatoirement ces chapeaux.
Quelle est la probabilité qu'aucune personne ne retrouve son chapeau (sans "x")?

[Ben314]

Salut,
Cherche sous Google "nombre de dérangements" : c'est la réponse à ta question. C'est pas complètement évident...
Si tu as des difficultés, revient demander.

[Finrod]

Maintenant je peux répondre.

Cela revient à comptabiliser les permutations de n élts sans point fixe.

Si on note le nombre de permutations sans point fixe et le nombre de permutations de n elts avec un seul point fixe, et plus généralement le nombre de permutations de nelts avec k points fixe, k<n.

On a

mais aussi

Et on a

Bon après, il faut surement deviner une formule à montrer par récurrence. A moins qu'il y ai une simplification que je n'ai pas vu .

Edit: @Ben: Houla je ne m'en souvenais pas. Doit y avoir une méthode plus maline que celle-ci alors.

ps : le correcteur d'orthographe français de firefox est misogyne, le mot "maline" n'existe pas pour lui.

[Finrod]

En fait, il faut remplacer "exactement un point fixe" dans ma définition de par "au moins un point fixe" et on trouve une relation plus accessible. Je m'étais emporté.

[Ben314]

Salut, finrod.
Personellement, je connais deux méthodes pour calculer le nombre de "dérangement" (i.e. de permutation sans points fixe) :

1) Celle que tu propose (que j'aime bien). En écrivant ta dernière formule
pour n=1, 2,... N, on se retrouve avec un système (triangulaire) de N équations à N inconnues. La matrice du système étant constituée des coeffs. binomiaux. Il y a plusieurs méthodes pour trouver l'inverse de cette matrice (récurence, exponentielle de matrice....) On conjecture trés façilement le résultat en étudiant les cas N=1 à 4...

2) On peut aussi trouver le résultat en utilisant le "théorème" donnant le cardinal d'une réunion comme une somme alternée des cardinaux des intersection (j'ai mangé le nom du théorème...)

P.S. en cherchant sous google, un des noms possibles du "théorème" est : "La formule du crible de Poincaré"

[Finrod]

En fait, il faut remplacer "exactement un point fixe" dans ma définition de par "au moins un point fixe" et on trouve une relation plus accessible. Je m'étais emporté.

En effet Ben, en prenant la peine de l'écrire, ce truc là ne marche pas car on compte plusieurs fois les même permutations.

[houda 20]

salut
tu utilise poicarré c'est tout...........

[Ben314]

(Re)Salut Houda,
L'autre méthode est peut-être un peu plus longue, mais je trouve ça assez joli d'inverser la matrice NxN dont les éléments sont les coeffs binomiaux...

[houda 20]

Salut
oui, Ben ça vaut vraiment la peine
ça c'est nouveau pour moi.......