Sous espace vectoriel

[theloulou]

Bonjour, dans R3, on donne les vecteurs x1(2,3,-1), x2(1,-1,-2), y1(3,7,0), y2(5,0,-7) et on veut prouver que {x1,x2} et {y1,y2} genère le même sous espace vectoriel. Pouvez vous m'expliquer la démarche à suivre car je prend de l'avance et je n'ai pas encore vu le cour. merci d'avance.

[Finrod]

Tu montre que y1 et y2 sont dans l'espace engendré par x1 et x2 en les écrivant comme combinaison linéaire de x1 et x2. Puis tu vérifie que y1 et y2 sont libres (c'est relativement évident). Tu conclus par un argument sur les dimensions : et donne toujours pour des ev.

[Ben314]

A mon avis, le plus "joli" et de commencer par regarder la dimension des deux sous-espaces vectoriels (en vérifiant que les deux familles sont libres).
Comme les dimensions sont les même, pour montrer que les deux sous-espaces vectoriels sont égaux, il suffit de montrer une inclusion de l'un dans l'autre.
Or, pour montrer que vect{x1,x2} est contenu dans vect{y1,y2}, il sufit de montrer que x1 et x2 sont dans vect{y1,y2} (pourquoi ?)
Il faut donc trouver deux réels a et b tels que x1=a.y1+b.y2 puis deux réels c et d tels que x2=a.y1+b.y2 ...

Il y aurait des tas d'autres méthodes : chercher les équations cartésiennes des deux sous espaces, ou bien d'un seul des deux...

EDIT : grillé par Finrod...

[theloulou]

merci pour cette très bonne explication, seulement une petite precision, est ce que le fait d'avoir montré que x1 et x2 sont dans F' suffit ou alors il faut aussi montrer que y1 et y2 sont dans F également?

[Ben314]

ça dépend de la façon dont tu procède.
Montrer que x1 et x2 sont dans F' prouve que F est contenu dans F'.
Montrer que y1 et y2 sont dans F prouve que F' est contenu dans F.
Donc, si tu montre les deux, tu as gagné.

MAIS, tu peut aussi commencer par montrer que F et F' sont de même dimension, et dans ce cas UNE seule des deux inclusion suffit à conclure.

[theloulou]

ah ok c'est clair. merci à vous. et si je voulais aller plus loin, est ce que je pourrais trouver une équation du sous espace vectoriel engendré par f et f'??

[Doraki]

L'équation d'un plan c'est un truc qui ressemble à ax+by+cz = 0.
Autrement dit tu peux décrire le plan comme l'ensemble des vecteurs (x,y,z) qui sont orthogonaux à un certain vecteur (a,b,c).

Si tu connais un vecteur qui est orthogonal à par exemple x1 et x2, c'est bon.

Et si t'as fait une terminale S tu devrais avoir un moyen simple pour en trouver.

[Near]

salut :we:
la famille est libre,donc .
même chose pour .
on en déduit que .

[Ben314]

salut :we:
la famille est libre,donc .
même chose pour .
on en déduit que .

NON : on est dans R^3 et il faut au moins montrer une des deux inclusions : dire que ce sont des plans ne prouve (évidement) pas qu'ils sont égaux !!!!

[Near]

NON : on est dans R^3 et il faut au moins montrer une des deux inclusions : dire que ce sont des plans ne prouve (évidement) pas qu'ils sont égaux !!!!

désolé.
merci beaucoup "Ben314" :id: .

[Near]

@"Ben314",est-ce que je dois prouver en plus ça,

c'est ça ?
merci :id:

[Near]

j'ai besoin de comprendre cet exercice,ce que j'ai fait est-il juste ?
merci.

[Finrod]

Oui c'est ça. il faut trouver les valeurs des

(Le fait qu'il ont même dimension prouve seulement qu'ils sont isomorphes.)

[Ben314]

@"Ben314",est-ce que je dois prouver en plus ça,

c'est ça ?
merci :id:

Oui, sauf que je n'écrirais pas cela comme un "système" car les deux équations n'ont aucune inconnues en commun !!!
(par contre, si tu l'écrit avec des coordonnées, l'équation est en fait un système de trois équations à deux inconnues...)

[Near]

merci infiniment "Ben314" et "Finrod".
:we: :we:
:++: :++: