Démonstration inéquation

[nicolas202]

bonjour, je n'arrive pas à faire cet exercice, pouvez vous m'aider ? Merci d'avance.

Démontrer : ;) a ;) R+ , ;) b ;) R+, ;) c ;) R+
(a^3+b^3+c^3) / 3 >= abc

[Ericovitchi]

On ne supprime la généralité du problème en supposant x>=y>=z
Et donc x²>=y²>=z²

Partons de
x.x²+y.y²+z.z² >= x.y²+y.z²+z.x²=xy.y+yz.z+zx.x
Or xy>=xz>=yz donc xy.y+yz.z+zx.x >= xy.z+yz.x+zx.y=3xyz

Pour mémoire, ce cas est un cas particulier de l'inégalité de la moyenne :

Ca dit en fait que la moyenne géométrique de n nombres positifs est toujours inférieure à leur moyenne arithmétique.

[nicolas202]

Merci beaucoup : ). Je crois que je comprendrai le tout dans quelques mois car je ne suis qu'en seconde et que c'est un problème du fameux livre Aleph0 !