Séries de Fourier

[Juju31]

Bonjour,

Je fais des exercices sur les séries de Fourier,
et j'en ai un sur lequel je bloque, car il me semble bien avoir trouvé la solution, mais ma calculatrice graphique ne me restitue pas le signal de départ. Comme j'ai vérifié plusieurs fois si je n'avais pas fait d'erreur sur ma calculatrice, j'en ai déduit que l'erreur devait venir de mes calculs.

Donc voici l'énoncé :


Et f(t) est 2 périodique.

Et voici ce que je trouve :





si n est paire :

n=2p




si n est impaire :

n=2p+1



et au final j'ai donc

ce qui donne pour les 4 premiers termes de la série :


Et donc au lieu d'avoir ceci sur ma calculatrice :


J'obtiens ça :


Le premier est du redressement simple alternance et le second du double alternance, ce qui est evidemment différent.

C'est pourquoi je demande votre aide, car je ne vois pas mon erreur, peut être pourrez vous m'éclairer

[Ben314]

Bonsoir,
Tu as du effectivement faire une erreur de calcul.
En particulier, les bn sont tous nuls lorsque la fonction de départ est paire, et ce n'est pas le cas ici...
Tu devrais trouver :
a0=1/pi , a(2p)=2/( Pi (n²-1) ) , a(2p+1)=0
b1=1/2 et les autre bn=0
.
.
.

[Juju31]

Pourtant je trouve


voici mon raisonnement :
avec



car quelque soit la valeur de n le sinus sera ici egal à 0 non ?

[Ben314]

C'est parfaitement correct.... pour n différent de 1 :
Tu voit bien à l'avant dernière ligne que tu divise par 1-n, ce qui est rigoureusement interdit lorsque n=1.
Donc, lorsque n=1 la primitive de la fonction n'est surement pas celle là...

[Juju31]

Ok, je comprends, mais je ne vois pas comment résoudre ce problème,
il faut que je calcule bn d'une autre manière ?
Pourrais-tu me donner une autre indication ?

[Ben314]

Ce que tu as écrit est parfaitement correct, à condition d'ajouter avant l'avant dernière ligne :
"Premier cas : si n est différent de 1 alors ..."
Puis d'écrire à la fin
"Deuxième cas : si n=1 alors
=..."

[Juju31]

Ah oui vu comme ça c'est beaucoup plus clair,
merci beaucoup, je crois que je n'aurai jamais pu trouver ça tout seul.
je vais recalculer S(t) et si il y a a nouveau un soucis je me permettrais de reposer une question ici.

Encore merci Ben,
Bonne journée !

[Juju31]

Et bien j'allais reposter car je n'arrivais pas à trouver b1=1/2 mais je dérivais 1 au lieu d'en faire la primitive. Heureusement j'ai corrigé ma bétise tout seul.

Par contre au lieu d'avoir un signal à 0 entre pi et 2pi j'ai une sinusoïde, certes inférieure a celle entre 0 et pi, mais qui a une valeur max a 20% de la vrai sinusoïde.
Donc j'aimerai savoir si avec les 4 premiers c'est normal d'avoir une reconstitution du signal assez mauvaise.

[Ben314]

Non, ce n'est pas normal, tu devrait déjà "pas trop mal" voir la courbe d'arrivé.
As tu aussi vérifié tes a_n : ceux que j'ai trouvé (post #2) ne sont pas les même que toi (sans doute une bète erreur de calcul).

J'avais tracé la courbe avec les 4 ou 5 premiers termes et ça paraissait parfaitement coller avec le résultat.