Appliction linéaire

[SergeM]

==Définitions==

Soit ƒ une application de ''E'' dans ''F'' où ''E'' et ''F'' sont deux espaces vectoriels sur un corps ''K''.
L'application ''ƒ'' est une '''application linéaire''' (ou '''morphisme de ''K''-espaces vectoriels''') si et seulement si :

Pour tout x et y dans E, f(x+y) = f(x) + f(y)
Pour tout x dans E et k dans K f(k.x) = k.f(x)



Une apllication peut elle vraiment vérifier la première premire propriété sans vérifier la seconde?
Quelqu'un peut il me donner un contre exemple pour que je m'en convainque?
En fait je me demande aussi s'il existe des applications qui vérifie la première propriété et pas la seconde sur des espaces usuels ou s'il faut ce placer sur des espaces impossibles pour que ça marche.


Merci

[Nightmare]

Salut !

Exemple : Une translation dans le plan euclidien.

[Finrod]

La translation ne vérifie aucun des 2.

En fait il y a un morphisme de dans K et si le corps des fractions de l'image de ce morphisme dans K est dense alors la première implique la seconde.

ça marche pour car dense dans mais pas pour : comment veux tu par ex reconstruire le nombre i avec ?

[Nightmare]

En fait je voulais parler de l'application qui à un vecteur x associe la translation de vecteur x

Edit : Sauf que celle là vérifie les deux.

[yos]

On peut prendre la conjugaison complexe (de dans , vu comme -espace vectoriel).

[SergeM]

Effectivement ça marche bien.

Merci.

[Ben314]

En fait il y a un morphisme de dans K et si le corps des fractions de l'image de ce morphisme dans K est dense alors la première implique la seconde.

Il me semble qu'il faut une hypothèse suplémentaire (style continuité de f dans le cas K=R)
Par exemple toute application linéaire de R dans R où R est vu comme un Q espace vectoriel vérifie évidement le 1), mais, sans hypothèse de continuité, je ne vois aucune raison qu'elle vérifie le 2) pour tout k de R. (par contre, je ne sais pas exhiber d'exemple sans l'axiome du choix...)

[Finrod]

Tout à fait.

En même temps, je ne crois pas que l'on puisse expliciter une application linéaire non continue.

La seule solution semble être formelle, prendre une peut être... mais je ne vois même pas comment faire après.

[Finrod]

Sans doute en prenant une -base avec f définie nulle sur et .

[Ben314]

La seule solution semble être formelle, prendre une peut être... mais je ne vois même pas comment faire après.

Tu choisi une base de en tant que espace vectoriel ( est forcément non dénombrable, et il faut l'axiome du choix pour prouver l'existence d'une telle base )
Pour définir une (unique) application -linéaire de dans il suffit de choisir des réels quelquonques et de poser .
Si les ne sont pas identiques, alors n'est pas -linéaire.

[Finrod]

Ah ben oui, c'était ça l'idée.

Mais c'est par R linéaire (mon ex non plus d'ailleurs, il est même pas Q(v2) linéaire le mien)

Donc la question reste ouverte : Peut on avoir une fonction R linéaire non continue ?

[Ben314]

Sans doute en prenant une -base avec f définie nulle sur et .

Jusque là, c'est O.K. : tu as posé et .
Comme et sont -linéairement indépendants, il existe une base de en temps que -espace vectoriel contenant ces deux éléments.
Le problème, c'est que, pour le moment, n'est définie que sur qui n'est pas un -espace vectoriel. Donc la question " est-elle -linéaire ?" n'a pas de sens....
Il faudrait définir etc ect (non dénombrable)

[Finrod]

Mais on ne peut pas voir R comme un Q[v2]-espace vectoriel ?

[Ben314]

Si, mais il faut (aussi) définir toute les images de la base (qui est toujours autant non dénombrable...)

[SergeM]

Donc si je resume on peut par axiome du choix suposer une base ei avec e1=1 et e2=\sqrt{2}
Poser l'appliation verifiant f(1)=\sqrt{2} f(\sqrt{2})=1 f(ei)=ei pour tout i différents de 1 et 2 et qui verifie la propriété 1).

Comme
f(\sqrt{2} *\sqrt{2}) = f(2) = f(1)+f(1)=2\sqrt{2}
et
\sqrt{2}f(\sqrt{2})=\sqrt{2}*1 = \sqrt{2}

Elle ne verifie pas la propriété 2).

[Ben314]

Oui , c'est bien ça, mais cet exemple est beaucoup plus complexe que celui de yos du post #5 qui ne demande ni axiome du choix, ni rien de bien compliqué...

[Finrod]

D'autant plus que l'ex de Yos fait intervenir seulement alors que dans cet exemple là, il s'agit d'une base e1, e2 de en tant que espace vectoriel.

Donc la R-linéarité dans ce cas, forcément ça marche pas du tout.


Après, reste la question que je posais : existe-t-il une fonction R-linéaire discontinue de R dans R ?

La réponse est non. Une telle fonction est une homothétie donc est continue;