Système d'équations

[jaimelesmaths]

Bonsoir,

qqun aurait il une idée pour résoudre ce système?

x²+y²-5=0
xy-2=0


Merci d'avance

[girdav]

Salut,
graphiquement on peut voir ça comme l'intersection du cercle de centre et de rayon avec l'hyperbole d'équation ;
analytiquement on peut multiplier la seconde équation par deux, puis considérer et .

[Ben314]

Salut,
Autre méthode :pose X=x² et Y=y² : tu connais la somme et le produit de X et Y donc pour les trouver tu résoud.....

[jaimelesmaths]

j'ai un vague souvenir de cette méthode oui !!

mais ensuite le X et Y sont ils permutables avec les petits x et y ?

par exemple; est ce que ceci est correcte :

X+Y-5=0
xy-5=0

Y=5/x
5x/x - 2=0 on arrive a rien comme ça donc please ben eclaire moi!

[jaimelesmaths]

il me faut la méthode quoi, car j'ai pas conservé mes cours d'il y a plusieurs années donc je peux pas m'y reférer



Merci d'avance

[Ben314]

mais ensuite le X et Y sont ils permutables avec les petits x et y ?

Non, quasi systématiquement, quand tu fait un changement de variables (ici x,y X,Y) tu change TOUTES les occurences des variables.

Ici, tu as [x²+y²=5 et xy=2] et, si tu prend X=x² et Y=y², les relations de départ impliquent que [X+Y=5 et que XY=(xy)²=2²=4] (ce n'est pas une équivalence car a=b n'est pas équivalent à a²=b²)

Or on sait (équation du second degrés) que, si X+Y=S et XY=P alors X et Y sont les solutions de l'équation (d'inconnue T) : T²-ST+P=0
Ici, cela conduit à T²-5T+4=0, le discriminant est 5²-4.4=9=3² donc X=x² et Y=y² doivent être egaux à et .
On en déduit que x et y doivent être egaux à et mais compte tenu du fait que xy=2, il faut que les signes soient les mêmes (on (re)découvre ici le fait que l'on a pas procédé par équivalence.

Les solutions sont donc [x=1 ; y=2] ou [x=2 ; y=1] ou [x=-1 ; y=-2] ou [x=-2 ; y=1]

P.S. : La solution proposée par girdav [ et ] était plus rapide (et plus astucieuse) dans le cas présent.

P.S.2 : Je ne pense pas qu'un quelconque "cours" soit utile ici, il n'y a pas de "formule magique" pour des équations non linéaires, simplement quelques "astuces" qui marchent pour certain cas particulier.
Dans le cas présent, il me semble qu'une méthode "bébète" qui doit ABSOLUMENT venir à l'esprit est d'utiliser la deuxième relation pour exprimer une variable en fonction de l'autre puis de substituer dans la première pour n'avoir qu'une équation à une inconnue.
Essaye de le faire avec cette méthode "bébète"...

[jaimelesmaths]

Merci beaucoup pour tes lumières!

[jaimelesmaths]

quand tu fais le discriminant b²-4ac, dans une équation du seconde degré, et bien la ton "a" était T. Or T était inconnu.

Ton résultat est bon, mais j'aimerais juste savoir comment calculer le discriminant avec un "a" inconnu.

[jaimelesmaths]

en fait c'est le T²-ST+P=0 , je sais pas du tout comment tu l'as trouvé.

C'est une formule pour quand on connait le produit et l'addition de 2 inconnus?

Si tu avais une petite explication ça serait sympa.

[Ben314]

Dans l'équation (du second degrés d'inconnue T) T²-5T+4=0, le "a" vaut 1, le "b" vaut -5 et le "c" vaut 4...

Pour le "T²-ST+P=0", je pensait que c'était un "résultat classique" systématiquement vu en même temps que le fameux "Delta=b²-4ac"...
La preuve est archi simple :
Supposons que X+Y=S et XY=P (X et Y fixés).
Le polynôme P(T)=(T-X)(T-Y) a évidement pour racines T=X et T=Y or
P(T)=(T-X)(T-Y)=T²-(X+Y)T+XY=T²-SX+P.
Réciproquement, supposons que X et Y soient les racines du polynôme
P(T)=T²-ST+P, alors P(T)=(T-X)(T-Y)=T²-(X+Y)T+XY donc X+Y=S et XY=P.

[jaimelesmaths]

ok donc si j'ai bien suivi, la derniere solution devrai etre plutot (-2;-1) non? je pense que c'est juste un petit oubli

[Ben314]

Effectivement...
Désolé

[jaimelesmaths]

ah d'accord merci bien !! c'est parfait comme explication !!! :we: :id: