Réccurence F(n) de la dérivée de f(x)=xe^(-2x)

[jhondoe]

Bonsoir !

Voila mon problème !
j'ai F(x)= xe^(-2x)

je dois montrer par réccurence que pour entier n et tout reel x :

F^(n)(x)= ((-2)^n + n(-2)^n-1)e^(-2x)

avec F^(1)(x)=F'(x)

J'arrive à le montrer au rang 0 avec =f(x) mais une fois que je passe au rang je trouve deux fois ((-2)^n + n(-2)^n-1) dans mon résultat est ce normal ?

et dois je trouver ca à la fin : ((-2)^n+1 + (n+1)(-2)^n)e^(-2x) ?

Merci :)

[Ben314]

Salut,
Déjà, il me semble qu'il manque cruellement un "x" dans le facteur avant l'exponentielle...
Par exemple, tu devrait trouver F'(x)=(1-2x)exp(-2x)
Ensuite, la récurrence semble assez simple...

[Finrod]

La dérivé de est .

Tu as du oublier un terme dans ton calcul parceque vu comme ça, ça marche.

[jhondoe]

oui j'ai en effet oublier un x ((-2)^nx + n(-2)^n-1)e^-2x
mais je ne comprend toujours pas comment arriver à prouver que c'est vrai au rang n+1 car j'ai n donc j'ai derrivé pour donc trouver f'(n+1) et je trouve dans mon calcul :

f'(n+1) = e^-2x((-2)^n+1 x + (n+1)(-2)^n-1) - 2(-2)^n x + n(-2)^n-1)

[Ben314]

Peut être faudrait-il un peu regrouper les puissances de -2 en utilisant par exemple le fait que (-2)^n=-2.(-2)^(n-1)...

[Finrod]

Bizarre ta formule.

qu'est ce que tu appliques pour arriver là ? c'est peut être la méthode qui ne va pas ...

edit : ça ressemble à la formule... en factorisant comme le suggère Ben donc tu es sans doute parti en en pensant partir de ...

[jhondoe]

je remplace n par n+1 nan ? :S

[jhondoe]

quand je dérive j'utilise u'v+v'u
avec u'= (-2)^n+1 x + (n+1)(-2)^n)
v'= -2e^(-2x)

[Finrod]

Non il faut que tu le montres pour n+1 et pour cela, par hypothèse de récurrence, tu prends la formule vrai, celle pour n et tu la dérives.

[jhondoe]

je dérive donc celle la ((-2)^nx + n(-2)^n-1)e^-2x) ?

[Finrod]

voilà.

et là, la dérivé donne la formule pour .

[jhondoe]

je suis vraiment bloqué j'dois surement mal m'y prendre...

[Finrod]

Dans ton premier calcul, tu as pris et tu as dérivé, me semble-t-il.

Ton calcul était parfaitement juste, il suffisait de factoriser pour trouver avec les indices de Ben.

Il faut que tu refasses pareil pour , le dériver et trouver

As-tu un pb de calcul ou est-ce la récurrence que tu ne comprends pas ?

[jhondoe]

c'est un problème de calcul je pense ou de méthode
je sais que c'est un détail l'érreur mais je n'arrive pas à la trouver !!

[jhondoe]

merci quand meme :)

[Finrod]

la dérivé de ((-2)^nx + n(-2)^n-1)e^-2x

est -2[((-2)^nx + n(-2)^n-1)e^-2x ] + e^-2x * ((-2^{n}))

qui donne pour le coef devant le x : (-2)^{n+1} et pour l'autre coeff (n+1)(-2)^{n}

bon ben ça c'est bien f^{n+1} dpnc la transmission de la récurrence fonctionne.

[jhondoe]

j'comprend pa storp l'origine du -2 mis en facteur et le fait qu'il reste ceci
e^-2x * ((-2^{n}

[Finrod]

J'applique la formule.

La dérivé de est .

f(x) = (-2)^nx + n(-2)^n-1)
f'(x) = (-2)^n