[TS Spé Math] Des histoires de similitudes

[Ailin]

Bonsoir/Bonjour à tous,

Je rencontre un petit soucis avec un de mes exercices, c'est pourquoi je viens à votre rencontre.

Voici le sujet, pour commencer:

Dans le plan complexe P, rapporté au repère (O, ), d'unité graphique 5 cm, on donne les points A, B, C, d'affixes respectives i, ; On appelle I, J et K les milieux respectifs des segments [OB], [AC] et [BC]

1. a) Démontrer qu'il existe une unique similitude directe s qui transforme A en I, et O en B.

> Je ne vais pas cacher que ça commence bien . A l'aide de quels outils suis-je supposée démontrer ceci ?

b) Déterminer le rapport et l'angle de s.

> Pour cela, j'ai utilisé le fait qu'une similitude directe pouvait s'écrire: z = az + b, et à l'aide des deux points et deux images au dessus, trouvé a= ( Je ne suis même pas certaine que a puisse être un complexe ? ), b= , donc k = |a| = et = arg(a) =

c) Donner l'écriture complexe de s

> J'ai donné z' = (z-;)) + [ Avec affixe de , centre de la similitude ]. Je ne sais s'il y a quelque chose à justifier ?

d) En déduire l'affixe de , centre de s. Placer .

> Ici, j'ai utilisé le fait que était le seul point fixe de la similitude, j'ai donc cherché à résoudre az+b = z, pour trouver que =
Je ne sais si j'ai juste, et si c'est le cas, comment placer le points dans mon repère sans faire d'approximation ?

e)Déterminer les images des points B, C et I

> J'ai appliqué la formule z= az+b, pour trouver:




2. On considère la transformation s²= s;)s ( s rond s )
a)Quelles sont les images de O, B, et A par s²

> J'ai appliqué deux fois s aux affixes concernés, pour trouver:





b) Démontrer que s² est une homothétie dont on précisera le centre et le rapport.

> J'ai utilisé le fait qu'une composée de deux similitudes directes était une similitude directe, donc que z" = a'z+b'. Trouvé a = -1/2 , b = , trouvé le rapport k' = 1/2 et = 0, d'où l'homothétie.

c) En déduire que (OC), (BJ) et (AK) sont concourantes.

> Là, j'imagine qu'il faut utiliser le fait que C est l'image de O par s², mais le reste, je ne vois pas ...


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Je vous remercie par avance de l'aide que vous pourrez m'apporter si vous en avez le temps et l'envie,

Merci beaucoup

[Ailin]

Vraiment personne ?

[Ben314]

Salut,
Bon, je m'y jette, mais c'est un peu ch.. comme exo.

Pour le 1)a), a mon avis, tu as un théorème de cours qui doit dire :
"Si A, B, A', B' sont 4 points avec A<>B (différent) et A'<>B' alors il existe une unique similitude directe qui transvorme A en A' et B en B' "

Pour le 1)b) on peut faire comme tu le dit (sauf que le module de a c'est évidement un réel positif, donc surement pas racine(2)i/2 et que l'argument de a n'est pas pi/2...)
Tu peut aussi calculer le rapport en calculant OB/AI (pourquoi) et l'angle en calculannt l'angle entre vecteur(AI) et vectur(OB)
A mon avis c'est plus ça qui est attendu, vu que le calcul du 'a' et du 'b', c'est ce qu'on te demande à la question 1)c)

Pour le 1)c) la réponse attendu, c'est le début de ton 1)b) c'est à dire z->az+b avec a=?? et b=?? (je comprend pas le sens de ce que tu as écrit...)

Pour le 1)d), la méthode est O.K. (j'ai pas fait les calculs)

Pour le 1)e) méthode O.K (calculs ??)

[Ben314]

Pour la partie 2)
a) méthode O.K. (calculs ??)
b) Le a' est juste et le b' me semble juste (comment les as-tu calculés ?) le rapport k est O.K., par contre l'angle n'est pas bon.
C'est bien une homothétie (quel centre ? quel rapport ?)

[Ericovitchi]

oui z'=az+b c'est OK, a= et b= c'est OK
Après le module ne va pas , il ne faut plus de i dedans et l'angle non plus. i c'est pi/2 plutôt.

l'écriture complexe tu l'as déjà puisque tu as trouvé a et b c'est z'=az+b

OK aussi pour c'est juste

[Ben314]

Bon, j'ai fini par faire les calculs...
a part ce que j'ai écrit ci dessus, il y a seulement une erreur dans s(C) et dans sos(B) (s "rond" s)

Pour faire le 2)c) il faut utiliser le fait (vu au 2)b) ) que sos(O)=C, que sos(B)=J et sos(A)=K et le fait que sos est une homothétie...

Bon courage.

[Ailin]

Ioups, le i dans le module de a, c'est une erreur de ma part, il n'y est évidemment pas --' D'ailleurs, pour Pi/2, c'est aussi une erreur, qui m'arrive souvent, de surcroit --' Je pensais Pi/2, j'ai écris Pi/4, donc pas de soucis de ce côté là.

Pour a' et b', comme la première fois, j'ai utilisé des points et leur image. ( A et A" , je crois )
Par contre, je confirme, l'arg(a) c'est -Pi , donc le rapport k' de l'homothétie est en fait de -1/2.
Le centre est toujours oméga, ça peut se redémontrer facilement en résolvant z=-1/2z+racine de 2+i

D'ailleurs, je ne sais toujours pas comment placer oméga, pas d'angle remarquable, ni rien ...

Et pour la dernière question, une idée ?

Merci pour votre aide !

[Ben314]

Tout parrait impec, juste quelques remarques :

a) pour a' et b', c'est à dire pour sos, je trouve plus joli d'écrire :
sos(z) = s(az+b) = a(az+b)+b = ... = a'z+b'

b) il n'y a aucun calcul à faire pour vérifier que oméga est point fixe de sos
car, il est point fixe de s, donc sos(omega)=s(omega)=omega

Pour la dernière question, c'est complètement évident : si M' est l'image de M par une homothétie de centre omega, alors qui appartient obligatoirement à la droite (MM') ?

Pour placer Omega sur le dessin, je te conseillerais la machine à calculer pour approximer l'abscice et l'ordonnée...

[Ailin]

J'ai corrigé les erreurs ( Les plus :arrow: )
Ce qui règle le problème de la fin : Je ne trouvais pas SoS(B)=J, puisque je m'étais trompée pour SoS(B) --' Donc maintenant, ça fonctionne =)

J'vais voir pour modifier l'écriture, si ça rend mieux =)

Reste à placer Oméga a vu d'oeil =D

Merci à tous les deux pour votre aide et votre temps !

Et Bonne Soirée !