Base

par **Near** » 16 Jan 2010, 21:45

salut :we:

,pour

on pose

. Démonter que

est une base de

.
voila ce que j'ai fait.
pour

est linéairement indépendant.
je suppose que c'est vrai pour

et je démontre qu'il en est pour

.

donc les

sont l.i.
est-ce juste ?
merci.

par **Ben314** » 16 Jan 2010, 21:53

Salut,
La réponse est...NON
Il faut que tu montre que

ne peut pas s'écrire sous la forme

avec

des constantes réelles : a priori, la relation que tu trouve ne prouve rien...

par **Ben314** » 16 Jan 2010, 22:00

A mon avis, comme tu as

polynômes et que tu doit savoir que

est de dimension

(une base est évidement

), tu as du voir que pour montrer que cette famille est une base il suffit de montrer qu'elle est génératrice ou bien de montrer qu'elle est libre.
Comme trés fréquement, montrer qu'elle est libre semble plus simple...

Indic : si deux polynomes sont égaux, il peut être malin
a) de remplacer X par une valeur, par exemple 0 ou 1
b) de dériver

Bon courage...

par **Near** » 16 Jan 2010, 22:22

merci beaucoup.

et

maintenant je dois démontrer que les

sont linéairement indépendants.
je pose

et j'évalue en des points...
je continue comme ça...
merci. :id:

par **Ben314** » 16 Jan 2010, 22:26

Near a écrit:... et j'évalue en des points...

Je te conseille aussi de dériver (plusieurs fois) ET évaluer...

par **Near** » 16 Jan 2010, 22:29

Ben314 a écrit:Je te conseille aussi de dériver (plusieurs fois) ET évaluer...

je vais faire ça :id: ,merci beaucoup :we: .

par **Finrod** » 17 Jan 2010, 14:01

Il est aussi assez simple de montrer que les famille de polynômes de degrés échelonné sont génératrice. (Par récurrence)

par **Near** » 17 Jan 2010, 14:03

Finrod a écrit:Il est aussi assez simple de montrer que les famille de polynômes de degrés échelonné sont génératrice. (Par récurrence)

les

ont la même dégrée,est-ce que tu peux me dire comment ?
merci. :id:

par **Ben314** » 17 Jan 2010, 14:19

Finrod a écrit:Il est aussi assez simple de montrer que les famille de polynômes de degrés échelonné sont génératrice. (Par récurrence)

Qu'appelle tu "de degrés échelonés" ?
Ici, les polynômes sont tous de degrés n...

par **Finrod** » 17 Jan 2010, 14:37

ah tiens oui, ils ont même degrès ici. Il doit sûrement y avoir un moyen aussi, je jette un coup d'oeil, mais c'est plus simple dans ce cas de montrer que la famille est libre.

par **Finrod** » 17 Jan 2010, 14:43

Voila ce que je trouve :

Par récurrence, on vérifie que pour n=1 c'est bon. On le suppose pour un n donné et on le vérifie pour n+1

Par hyp de récurrence les n premiers pol;)nomes

engendrent l"idéal (1+X). De plus,

L'argument le plus simple que je vois après est de vérifier que 1 appartient bien à l'esp vect engendré par

en lécrivant comme somme d'un élément de l'idéal et du monome

(affecté éventuellement d'un coef)

j'ai ça :

Voilà après on peut écrire tou polynôme P(X) sous la forme P(X)=(1+X)Q(X)+ cste , le premier terme appartient à (1+X) et le second est bien cl de 1 qui appartient à vect(P_{0}..P_{n})

par **Nightmare** » 17 Jan 2010, 15:01

Salut !

Et pourquoi pas exprimer une famille en fonction de l'autre?

Par exemple,

par **Ben314** » 17 Jan 2010, 15:08

Si vous voulez jouer avec des outils un peu plus puissant, vous pouvez aussi regarder la matrice de passage : elle est triangulaire (les valuations vont en augmentant) donc inversible.

Le problème c'est que je pense que Near n'as pas un "gros bagage" d'algèbre linéaire et que vos deux méthodes (et celle des déterminants ci dessus) risquent de lui parraitre "vachement trop astucieuses..."

A lui de trancher...

P.S. pour Finrod :

, c'est pas trop un anneau donc, y'a pas trop d'idéal... (mais la preuve est quand même bonne...)

par **Near** » 17 Jan 2010, 15:10

Ben314 a écrit:Si vous voulez jouer avec des outils un peu plus puissant, vous pouvez aussi regarder la matrice de passage : elle est triangulaire (les valuations vont en augmentant) donc inversible.

Le problème c'est que je pense que Near n'as pas un "gros bagage" d'algèbre linéaire et que vos deux méthodes (et celle des déterminants ci dessus) risquent de lui parraitre "vachement trop astucieuses..."

A lui de trancher...

oui,c'est bien ça.
:we:

par **Ben314** » 17 Jan 2010, 15:16

A mon avis, en réfléchissant bien, tu devrais comprendre toutes les méthodes proposées (a condition d'avoir vu les déterminant, ce qui ne me parrait pas évident). Si tu as un peu de temps, c'est instructif.

P.S. pour la première que je t'ai proposé, en fait, il n'y a pas vraiment besoin de dériver : en prenant X=0, tu déduit que

ce qui signifie que l'on peut mettre X en facteur et comme le produit est nul, l'autre facteur doit être nul. En prenant X=0 dans cet autre facteur, tu déduit que

...

par **Finrod** » 17 Jan 2010, 15:19

P.S. pour Finrod : , c'est pas trop un anneau donc, y'a pas trop d'idéal... (mais la preuve est quand même bonne...)

[mode="mauvaise foix"]
Oui, mais on voit bien que je parle de l'intersection de l'idéal (1+X) de R[X] avec

[/mode]

par **Near** » 17 Jan 2010, 15:19

Ben314 a écrit:A mon avis, en réfléchissant bien, tu devrais comprendre toutes les méthodes proposées (a condition d'avoir vu les déterminant, ce qui ne me parrait pas évident). Si tu as un peu de temps, c'est instructif.

je suis d'accord avec toi "Ben314",merci.
et merci pour "Nightmare" et "Finrod". :we:

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