bonjour , j'ai un exo de mathématique a rendre prochainement sur les primitives ( je suis en T°S) mais ce n'est vrmt pas un niveau de terminal S voici l'énonce jai réussi les premières questions mais la fin je n'y arrive pas du tout si vous pouviez m"éclairer un petit peu . merci beaucoup:
On considère la fonction f définie sur R par f(x)=1/1+x^2 . F désigne la primitive de f qui vérifie F(0)=0 .
1. démontrer que F est une fonction impaire ( ca j'ai réussi )
2.on pose pour tout x appartenant a] -pi/2 ; pi / 2 [ h(x)= F(tan(x))
a) justifierai h est dérivable sur l'intervalle ] -pi/2 ; pi / 2 [ et calculer sa dérivée ( j'ai réussi jai trouvé h'(x)=1 )
b) en conclure que l'on a F(tan(x)) = x ( jai réussi jai fait la primitive de h(x) )
c) en déduire la valeur exacte de F(1/2) et de F(1) ( jai trouvé F(1/2)= tan -1 de 1/2 et F(1) = pi/4 est ce cela ?
3. on pose G(x) = F(x) + F(1/x)
a) calculer sa dérivé ( je trouve aussi 1)
b) en deduire que F(x) = pi/2 - F(1/x) ( alors la jai pas du tout trouvé )
c) que vaut F(2) ? ( je pense que cest tan -1 de 2 )
d) determiner la limite de F(x) lorque x tend vers +00
e) en utilisant le fait que F est impaire determiner la limite de F lorque x tend vers -00 ( elle sera contraire a celle de +00 )
Jusque la et grace a votre aide en partie j'ai pu rédiger mon devoir.
3) a) Je trouve 0 pour la dérivée.
b) Ainsi la fonction est constante. Il ne reste plus qu'à trouver une valeur de G. Par exemple, en 1, G(1) = 2F(1) = pi/2.
Donc G est constante égale à pi/2. Ainsi pour tout x F(x) + F(1/x) = pi/2, d'où F(x) = pi/2 - F(1/x).
d) Lorsque x tend vers +inf, G(x) tend vers pi/2, F(x) tend vers l, et F(1/x) tend vers F(0)=0.
Ainsi en passant à la limite dans G(x) = F(x) + F(1/x) , je trouves : lim(+inf) F(x) = pi/2.
e) -pi/2. je peux donc tracer ta courbe, qui vaudra 0 en 0, et aura deux asymptotes horizontales : y=pi/2 et y'= - pi/2.
Les questions suivantes suivent directement celles que j'ai donné précédemment.
4) a) Trouver une relation analogue a celle obtenue précédemment lorsque x appartient a l'intervalle ]-inf; 0[.
b) Determiner le sens de variation de F puis dresser son tableau de variation
--> Ici j'ai pensé a utilisé la continuité de F et d'utiliser la généralisation du théoreme de la bijection sur les intervalles concerné. Est-ce juste?
5)On note T la tangeante a C au point d'abscisse 0.
a)Determiner l'équation réduite de T. Etudier la position de C par rapport a sa tangeante T au point 0.
6) On pose pour tout entier naturel n S(n) = [Somme avec K allant de 0 a n] de F( 1 / ( 1+k[k+1]) )
a) Démontrer que pour tous réels a et b positifs ou nuls on a:
F(a)-F(b) = F( (a-b) / (1+ab) ) (Cette question est la plus difficile m-a t-on dis)
b) Vérifier que S(n) = F(n) et en déduire que la suite S est convergente.
Je vous remercie infiniement de votre aide.