Equations de récurrence de deuxième ordre

[Anthony G]

Bonjour,

Je suis actuellement bloqué sur une équation de récurrence de deuxième ordre. La voici :

9.Un+2 + 6.Un+1 + Un = (-1/3)^n

avec
U1 = 3;
U2=1

Que suis-je censé faire du (-1/3)^n lorsque je résous l'équation homogène? Dois-je le garder, le remplacer par 0, le changer de côté...?

Merci d'avance pour votre aide!

Bonne soirée.

Anthony.

[Ben314]

Salut,
Fait comme pour les équations différentielles : commence par chercher les suites Vn vérifiant l'équation sans second membre , c'est à dire avec 0 à droite (c'est l'équation homogène)
En fonction des soluces trouvées à l'équation homogène, tu essayera de trouver une soluce particulière à ton équation...

[Doraki]

Tu obtiens une équation récurrente de 3ème ordre facilement :

9.Un+2 + 6.Un+1 + Un = (-1/3)^n = (-1/3) * (-1/3)^(n-1) =
-3.Un+1 - 2.Un - 1/3. Un-1.

Remis proprement, ça devrait donner
27.Un+3 + 27.Un+2 + 9.Un+1 + 1.Un = 0.

[Anthony G]

Ok, merci beaucoup à vous pour vos 2 réponses rapides et claires. Je vais essayer de résoudre ça comme je peux même si je n'ai pas encore appris à résoudre des équations du 3ème ordre.

Si je n'y arrive pas je reviendrai vers vous.

Merci encore!

[ffpower]

Checher une solution particuliere a l air plus direct ( y en a probablement une de la forme C(-1/3)^n...)

[Ben314]

Checher une solution particuliere a l air plus direct ( y en a probablement une de la forme C(-1/3)^n...)

Vu que -1/3 est déjà racine double du polynôme 9X^2+6X+1, et que tout les (an+b)(-1/3)^n sont soluces de l'équation homogène, je pencherais plutôt pour Cn²(-1/3)^n comme soluce particulière...