Produit et somme de deux matrices normales

[Sirdouille]

Bonjour,

J'essaie depuis quelques temps de démontrer la propriété suivante :

Soit A et B deux matrices normales qui commutent, i.e. telles que :

A^*A=AA^*
B^*B=BB^*
AB = BA

Alors, les matrices AB et (A+B) sont aussi normales.

Si vous connaissez la preuve, ça m'arrangerait, merci !

[Nightmare]

Salut !

Il me semble qu'en fait on peut montrer que B commute aussi avec A* (et donc A commute avec B*), du coup (AB)*(AB)=B*A*AB=B*AA*B=AB*BA*=ABB*A*=(AB)(AB)* et (AB) est normale.

Même idée pour l'autre.

Je réfléchis à une preuve pour montrer que B commute avec A*.

[Ben314]

Salut,
Il me semble que l'ypothèse AB=BA implique que les sous espaces propre de A sont stable par B et, comme A et B sont digonalisables, cela implique que A et B sont diagonalisables dans une même base (orthonormée car elles sont normales).
On en déduit à peu prés... tout ce qu'on veut...

[Sirdouille]

Merci pour vos réponses.
Oui, ce serait pratique si A* commutait avec B...
Concernant la stabilité, je crains que mes bagages soient pour l'instant un peu trop légers. Je m'y plonge.

[Sirdouille]

En fait ce que tu dis, c'est qu'à partir du moment où AB=BA, il existe une matrice unitaire U pour laquelle :

A=UD_AU*
B=UD_BU*

C'est vrai que tout coulerait de source à partir de là, mais l'équivalence entre les deux propriétés ne me saute pas aux yeux.

[Nightmare]

Pour montrer que A et B* commutent, on peut montrer que ||AB*-B*A||² est nulle (norme hermitienne usuelle). Après calculs, rien de compliqué :happy3:

[Ben314]

En fait ce que tu dis, c'est qu'à partir du moment où AB=BA, il existe une matrice unitaire U pour laquelle :

A=UD_AU*
B=UD_BU*

C'est vrai que tout coulerait de source à partir de là, mais l'équivalence entre les deux propriétés ne me saute pas aux yeux.

Si est le s.e.v. propre de associé à la valeur propre alors, pour tout donc et on peut parler de la restriction de à (en fait on devrait plutôt parler de la restriction de l'application linéaire...) Cette restriction est encore normale, donc diagonalisable dans une b.o.n. de .
Si on regroupe les b.o.n. de tout les s.e.p. de obtenues de cette façon, on obtient une b.o.n. de (car les s.e.p. de sont 2 à 2 orthogonaux) dans laquelle et sont simultanémént diagonalisables...