Complexes et Trigonométrie [Terminale]

[samos38]

Bonjour à tous ,

Voici l'exercice sur lequel je bloque :

Soit les nombres complexes :

z1 = (racine(6) -i*racine(2))/2

z2 = 1 - i

1) Mettre sous forme trigonométrique z1 , z2 et Z= z1/z2

2) En déduire que cos (pi/12) = ( racine(6) + racine(2) ) / 4
sin (pi/12) = ( racine(6) - racine(2) ) / 4

3) On considere l'équation d'inconnue réelle x :

( racine(6) + racine(2) )*cos x + ( racine(6) - racine(2) )*sin x = 2

Résoudre cette équation dans R



Ce que j'a fait :


1 ) z1 = racine(2)*( cos (pi/6) + i*sin (pi/6) )

z2 = racine(2)/2*( cos (pi/4) + i*sin (pi/4) )

et je calcule Z sous forme trigonométrie :

Z = z1 / z2
= racine(2)*( cos (pi/6) + i*sin (pi/6) )/ racine(2)/2*( cos (pi/4) + i*sin (pi/4) )

= ( cos (pi/6) + i*sin (pi/6) ) / ( cos (pi/4) + i*sin (pi/4) )

= e^(pi/6) / e^(pi/4)

= e^( - pi/12)

= ( cos (- pi/12) + i*sin ( - pi/12) )

Z = ( cos (pi/12) - i*sin (pi/12) )

et quand je calcule Z sous forme algébrique j'ai :

Z = ( racine(6) + racine(2) ) / 4 + i*( racine(6) - racine(2) ) / 4

Et la normalement je met :

( racine(6) + racine(2) ) / 4 + i*( racine(6) - racine(2) ) / 4 = ( cos ( pi/12) - i*sin ( pi/12) )

Et la avec la formule : a = r*cos a
b = r*cos b

J'aurais pu conclure mais un membre est de la forme :

a + ib

Et l'autre de la forme :

r*cosa + r*i*sina avec r = 1

En fait le signe - me gêne ...

2 ) j'ai pris la question précédente comme acquis :

cos (pi/12) = ( racine(6) + racine(2) ) / 4
sin (pi/12) = ( racine(6) - racine(2) ) / 4

Et j'ai essayé tout ce qui me passait par la tête mais je n'y arrive pas


Merci d'avance pour votre aide

[dom85]

bonjour,

pour z1 il y a une erreur car le cos doit être >0 et le sin<0
donc ce n'est pas pi/6 mais -pi/6
pour z2 même chose:l'angle dont le cos vaut V2/2 et le sin -V2/2 n'est pas pi/4 mais -pi/4

z1/z2=cos(pi/12)+isin(pi/12)

[dom85]

cos(pi/12)=cos(pi/4-pi/6)
=cos(pi/4)cos(pi/6)+sin(pi/4)sin(pi/6)
=V2/2*V3/2+V2/2*1/2
=(V6+V2)/4

sin(pi/12)=cos(pi/4-pi/6)
tu utilises la formule sin(a+b)
et tutrouves:
(V6-V2/4

[dom85]

ton équation equivaut à:
4[cospi/12 cosx+sinpi/12 sinx)=2
cos(pi/12-x)=1/2
cos(pi/12-x)=cos(pi/6) ou cos(pi/12-x)=cos(-pi/6)

bonne journée

[samos38]

merci beaucoup dom85 j'ai bien compris ce que tu m'as expliqué :briques: .