Arithmétique

[HC53]

Bonjour,

Je dois déterminer si p divise 1+(p-1)! implique nécessairement que p est premier... Je ne trouve pas de contre exemple donc je suppose que c'est vrai... Comment faire ici ?

Merci bcp !

[wserdx]

Montre que les diviseurs de 1+(p-1)! sont plus grands ou égaux à p.
Quelle est la conséquence sur les diviseurs de p?

[Ben314]

Si tu as vu les anneaux Z/nZ, il y a aussi une méthode "évidente" :
Comment caractérise t'on les Z/pZ avec p premier par rapport aux autres Z/nZ ?
Que représente (n-1)! dans Z/nZ ?

Indic. : On pourra utiliser le résultat trivial suivant "Si dans un anneau (commutatif) un produit d'éléments vaut 1 alors tout les éléments du produit sont inversibles"...

[alavacommejetepousse]

bonsoir

encore plus simple

si p non premier

p = q r avec q et r compris entre 2 et p-1 d'où

(p-1)! congru à 0 mod p

le sens intéressant est l'autre si p premier àlors (p-1)! congru à -1 mod p ( wilson et là ce que dit ben sert)