Algèbre linéaire...début difficile!!

[dawa]

bonjour!

on me demande de déterminer pour quelles valeurs de t (t appartenant a R), les vecteurs (1.0.t),(1.1.t),(t.0.1) forment une base de R3

je sais qu'il faut que la famille soit libre:
a+b+tc=0
b=0
at+bt+c=0

je sais qu'il faut que la famille soit génératrice...et c'est plus a ce niveau que je bloque!!

HELP!!

globalement, je ne comprend pas trop ce que je fais....

[gdlrdc]

une famille libre de 3 vecteurs dans un espace de dimension 3 est forcément une base, qu'est-ce t'en pense ?

[dawa]

j'en pense que c'est ce que j'ai dit dans mon devoir, faute de mieux, mais ça me parait trop simple...

et si je dit que (t.0.1)=(1.0.t)*(1.1.t)
ça ferait t²=1 donc t = 1 ou -1
ça se défend? ou pas....

[gdlrdc]

c'est pas trop simple, c'est juste vrai.
par contre c'est quoi ton * ?

[dawa]

multiplier

[fatal_error]

salut,

je vois pas cque t'essaies de faire avec ta multiplication.
sinon, effectivement, r3 donc la base est dimension 3.

ta famille comporte 3 vecteurs donc si elle est libre, c'est une base.de R3.
pour montrer qu'elle est libre:
soit u, v, w ces trois vecteurs.

on veut montrer au+bv+cw = 0 implique a=0 ET b=0 ET c=0
tes vecteurs ont trois coordo nnées (x, y et z). tu as trois equations (une par coordoonnées) et trois inconnues!

tu cherches t de façon a ce que il FAUT que a=0 et b=0 et c=0
a+b+tc=0
b=0
at+bt+c=0
bon, on supprime les b, et on obtient
on a t^2c = c en substituant a de (1) dans (2), on trouve des solutions qui satisfont (1) et (2)
bref c(t^2-1)=0
Ici, on a soit c = 0, soit t^2-1 = 0
Si on prend t^2-1=0, et qu'on cherche les valeurs de t correspondantes, alors on a aucune condition sur c cad on peut mettre n'importe quelle valeur de c, l'eq fera 0. C'est pas ce qu'on veut, on veut forcer c a 0.

[wserdx]

J'ajouterais une méthode peut-être un peu marteau-pilon mais qui est directe.
Les 3 vecteurs forment une base si et seulement la matrice associé est inversible, c'est-à-dire de déterminant non nul

[dawa]

merci...finalement je continue sur ma première lancée qui était la bonne (comme souvent). J'ai donc dit que toutes familles libres de n vecteurs forment une base de Rn et prouvé que cette famille est libre pour t=1 et t=-1.

En tous cas merci pour votre aide!! je suis en formation à distance, et avec un bouquin, c'est parfois un peu difficile d'intégrer les nouvelles notions....D'ailleurs les matrices, c'est pour le mois prochain,je risque de revenir trainer mes guêtres par ici!

[Ben314]

Bonjour,
Attention :

...cette famille est libre sauf pour t=1 et t=-1.

Attention aussi au fait que

...si je dit que (t.0.1)=(1.0.t)*(1.1.t)...

cela n'a pas de sens : dans un espace vectoriel, il n'y a pas de multiplication "vecteur*vecteur=vecteur".

[Nightmare]

Salut salut !

On peut euclidianiser R^3 et utiliser le produit vectoriel pourquoi pas :happy3:

D'ailleurs de tête je crois que (1,0,t)*(1,1,t) n'est pas très loin de (t,0,1)

[alavacommejetepousse]

si on pouvait éviter de parler de la dimension d'une base