Nombres premiers, Repunits

[Eien]

Bonsoir à tous !

Je suis un élève de Terminale S, en spécialité mathématiques.
J'ai un devoir à faire au sujet des Repunits dans le cadre des nombres premiers.

Voici la question concernée :
Sachant que tout repunit peut s'écrire pour
En suposant que k est pair, démontrer que est divisible par .

Voici les différentes pistes que j'ai :

- On a
Un entier est divisible par 11 si la différence entre la somme de ses chiffres de rang impair et la somme de ses chiffres de rang pair est divisible par 11.
( Par exemple : 1111 est divisible par 11 car (1+1)-(1+1)=0 et 11|0 )
Or k étant pair, le nombre de "1" dans est pair, et donc la différence sera égale à 0, d'où 11|

--> J'ai l'impression que ça manque de rigueur

- = pour
Pour prouver que divise , il suffit de prouver que
Or car

10;)-1 [11]
;)1 [11] car k est pair
;)0 [11] donc

10;)1 [9] puis de même
;)0 [9] donc

De là, peut-on en déduire que , 9 et 11 étant premiers entre eux, et que donc , c'est-à-dire que divise ?

Ce sont les pistes les plus "viables" que j'ai pour le moment. On peut aussi factoriser , mais le résultat ne me semblait pas utile.

Quel est votre avis sur la question ? Mes démonstrations sont-elles justes et suffisent-elle à répondre à la question ?

Merci de votre aide !

[Le_chat]

10;)-1 [11]
;)1 [11] car k est pair
;)0 [11] donc

10;)1 [9] puis de même
;)0 [9] donc

De là, peut-on en déduire que , 9 et 11 étant premiers entre eux, et que donc , c'est-à-dire que divise ?

Cela m'a l'air juste :zen:

[yann.grizonnet]

Tu as raison, le fait que 9 et 11 soient premiers entre eux conclue bien ta démonstration. Mais pour faire plus simple, et comme tu as trouvé tout seul, je me permet une suggestion :

Si k est un nombre pair alors il existe un entier n tel que k = 2n et on a



C'est la somme des termes d'une suite géométrique de raison 10², ce qui est bien un entier.

Tu maîtrises bien les congruences, mais pour le coup c'était un peu compliqué.

Exemple.
Pour plus de précisions, tu peux lire BV Tarasov ici .
C'est un fichier PDF en anglais, mais très intéressant sur le sujet.

Cordialement,

Yann.

PS. Ta question est un cas particulier de la propriété suivante :

Les nombres p et q étant des entiers supérieurs ou égaux à 2, si p|q alors .
Bien sûr, cette propriété serait à démontrer mais c'est dans la même veine que ma suggestion, si tu veux te lancer là dedans...
Bonne continuation dans tes études en mathématiques.

[Eien]

Merci de vos réponses !

Je trouve en effet cette méthode beaucoup plus simple yann.grizonnet ! Mais je n'avais plus la formule de la somme des termes d'une suite géométrique en tête :hein: .

Je dois maintenant démontrer cette propriété dans le cas général. Je vais essayer de faire ça par moi-même, je vous tiens au courant ! :id:

[Eien]

( désolé pour le double post )

J'ai réussi à finaliser ma démonstration, ça me semble assez correct maintenant !
Mais je bloque cette fois sur une autre question.

p et p+2 sont des nombres premiers jumeaux ( p différent de 3 )
Démontrer que leur somme est divisible par 12

Tout nombre premier différent de 2 est impair, d'où
p = 2k+1 ( k > 1 )

la somme est donc égale à
p+p+2 = 4k+4 = 4(k+1)
donc 4|(p+p+2)
Il resterait alors à prouver que 3|(k+1)

Mais cela ne me même à rien et j'ai l'impression de m'égarer complètement...
Des indices ?

( J'ai aussi étudié la classe de congruence 12 mais je n'arrive pas à conclure avec les résultats...)

[Ben314]

Salut,
A part les cas particuliers de 2 et 3, que peut tu dire du reste de la division d'un nombre premier par 6 ?
Si p ET p+2 sont premiers, quel est le reste de la division de p par 6 ?
Qu'en déduit tu concernant p+(p+2) ?

[Eien]

Hm je n'ai pas très bien compris..

Mais j'ai bricolé avec les congruences modulo 12

Soit P et P+2 deux entiers quelconques
P est congru à ............. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 modulo 12
P+2 est congru à .......... 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 0, 1 modulo 12
D'où (P+P+2) congru à ... 2, 4, 6, 8, 10, 0, 2, 4, 6, 8, 10, 0 modulo 12

En ajoutant la condition que P et P+2 sont impairs (car premiers), le reste ne peut être pair
d'où
P est congru à .......1, 3, 5, 7, 9, 11 modulo 12
P+2 est congru à ....3, 5, 7, 9, 11, 1 modulo 12
(P+P+2) congru à ...4, 8, 0, 4, 8, 0 modulo 12

En ajoutant la condition que P et P+2 sont premiers tous les deux, le reste est forcément premier ( Est-ce vrai et comment le démontrer ?).
P est congru à ........ 3, 5 modulo 12
P+2 est congru à ..... 5, 7 modulo 12
(P+P+2) congru à .... 8, 0 modulo 12

En ajoutant la condition que P est différent de 3, il ne reste qu'une possibilité respectant les données

P est congru à 5 modulo 12
P+2 est congru à 7 modulo 12
(P+P+2) congru à 0 modulo 12

Donc pour tout p tel que p et p+2 soient premiers et p différents de 3
(P+P+2) est divisible par 12


Est-ce correct ? :s

[Ben314]

En ajoutant la condition que P et P+2 sont premiers tous les deux, le reste est forcément premier

En général (i.e pour un nombre différent de 12), c'est faux. Ici, en fait c'est presque vrai : on peut avoir p congru à 1 modulo 12, par exemple si p=13 !
Pour le voir, il suffit de dire que, non seulement p (et p+2) sont impairs mais aussi que p (et p+2) sont non divisibles par 3 (sauf si p=3).
De plus, je te le (re)dit, il suffit de regarder les restes de division par 6 pour conclure (évidement, ça marche ausssi avec les restes de division par 12, mais c'est plus long...)

[Eien]

Merci pour tes conseils avisés !

la justification pour le reste premier est clair, mais je ne saisis toujours pas l'étude en modulo 6..J'ai étudié les restes et cela correspond bien ( c'est bien plus rapide c'est vrai ) mais comment passe-t-on d'un modulo 12 à 6 ?

( Ça doit être extrêmement simple, mais il semblerait que le niveau d'activité de mon cerveau ait atteint ses limites après la dernière tasse de thé . )

Mais déjà un grand merci !

( EDIT : je pense avoir compris.... P+P+2 = 2P+2 = 2(P+1) )

[Ben314]

Vu ta dernière formule : P+(P+2)=2(P+1), si tu montre que le reste de la division de P par 6 est forcémént 5, tu as gagné car cela signifie que P+1 est divisible par 6 donc que 2(P+1) est divisible par 12 !!!