Suites [Initiation 2de]

[Mathx]

Bonjour à tous,

J'ai un exercice de mathématiques et je voudrais savoir si vous pourriez vérifier ma solution et éventuellement m'en proposer un autre.

Enoncé :
Considérons la suite de nombres entiers dont les deux premiers termes valent 1 et dont chaque terme est la somme des deux termes précédents.
Plus rigoureusement, cette suite est définie par u1=1, u2=1, u n+1 = un + u n-1
Démontrez que tous les termes de la forme u3n (avec n entier non nul) sont pairs.

Ce que je propose :
Supposons que u3n soit impair.
Alors u3n s'écrit sous la forme 2k+1 avec entier naturel non nul
(u3n)²=(2k+1)²=4k²+4k+1=2(2k²+2k+1/2)
(u3n)² s'écrit sous la forme 2 * un entier (ici 2k²+2k+1/2) donc (u3n)² est pair
soit u3n est pair.
(Contradiction avec l'hyp de départ)
Merci d'avance

[Teacher]

C'est ce que l'on appel mathématiquement parlent la suite de FIBONACCI

[Mathx]

Cela m'aide...

[Mathx]

Quelqu'un peut-il m'aider svp ?

[mat024]

Quelqu'un peut-il m'aider svp ?

Salut
Par récurrence ca se fait très bien:

Initialisation
U3=U1+U2=2 OK

On admet vrai au rang n soit U3n=2k

On montre au rang n+1 soit:
U3(n+1)=U3n+3=U3n+2+U3n+1
U3n+2=U3n+U3n+1=2k+U3n+1
Soit U3(n+1)=2k+2*U3n+1
Somme de deux termes pairs donc vrai au rang n+1

Donc vrai au rang n

[Mathx]

svp !!! :)

[Mathx]

Mais je suis en 2de ! Je ne connais pas la récurrence

[Ben314]

... un entier (ici 2k²+2k+1/2) ...

Ta solution ne va pas : 2k²+2k+1/2 n'est clairement pas entier !
Par contre, je ne vois pas comment résoudre un exo sur une suite définie par réccurence (i.e. telle qu'il faut connaitre les termes précédents pour calculer le suivant) sans utiliser... une réccurence !

Si tu ne connait pas le mot "réccurence", tu peut voir de proche en proche la parité des un :
u1=1 Impair
u2=1 Impair
u3=2 Pair
u4=3 Impair
u5=5 Impair
u6=8 Pair
.
.
.
puis expliquer que la série 'Impair, Impair, Pair' va continuer car
Impair+Impair=Pair, Impair+Pair=Impair et Pair+Impair=Impair.
(En fait ce que je vient d'écrire est... une récurrence)

[mat024]

A mon époque on ne voyait pas les suites en seconde dsl. Alors sans récurrence je vois pas trop comment faire. Mais ta démonstration est fausse car 2k²+2k+1/2 n'est pas un entier donc multiplié par 2 il n'est pas pair (exemple 2*0.5=1). Donc ta démonstration par l'absurde n'est pas bonne.
Peut être que tu peut essayer d'expliquer (sans dire que tu fais une récurrence). Tu dis par exemple que U3 est pair. U6=2U4 +U3 est donc pair. Après tu dis on continue n fois et ça marche tout le temps tu écris trois petits points... Peut être qu'ils te l'accepteront