Factorisation Folle!

par **Lostounet** » 03 Jan 2010, 00:33

Salut, et bienvenue sur mon topic.
Je m'amusais ( :zen: ) à refaire quelques petites factorisations "difficiles". En voici une (proposée par Dinozzo sur un de ses fils défis, je la prends comme exemple):

9x² + 6x - 15
Pour factoriser, comme il n'y a ni identité, ni facteur commun (le 3, mais bon..), on doit faire comme un "puzzle", pour trouver:

= 9x² + 6x + 1 - 16
= (3x + 1)² - 4²
= (3x + 1 + 4) (3x + 1 - 4)
= (3x + 5) (3x - 3)
= 3(3x + 5)(x - 1)
On a trouvé la bonne factorisation, attendue par le/la prof.
MAIS.. Un problème s'impose..

Pourquoi ne peut-on pas factoriser en faisant un "puzzle", mais avec les "x" cette fois?!? :id:
Je vous montre:

9x² + 6x - 15
= x² + 2x + 1 + x² + 2x + 1 + x² + 2x + 1 + 6x² - 18
= (x + 1)² + (x + 1)² + (x + 1)² + 6x² - 18
= 3 (x + 1)² + 6 (x² - 3)
= 3 (x + 1)² + 6 (x + ;)3)(x - ;)3)
= 3 [(x + 1)² + 2(x + ;)3)(x - ;)3)]

Mais, ce n'est pas la factorisation attendue!
Par contre, la démarche est tout à fait correcte.
Quelqu'un pourrait-il me dire l'erreur dans mon raisonnement (s'il y en a), ou sinon, comment continuer à partir de là?

Merci d'avance!

par **oscar** » 03 Jan 2010, 10:08

Ta démarche est bonne mais tu n' obtiens Pas de facteur commun

par **Sve@r** » 03 Jan 2010, 11:14

Lostounet a écrit:Salut, et bienvenue sur mon topic.
Je m'amusais ( :zen: ) à refaire quelques petites factorisations "difficiles". En voici une (proposée par Dinozzo sur un de ses fils défis, je la prends comme exemple):

9x² + 6x - 15
Pour factoriser, comme il n'y a ni identité, ni facteur commun (le 3, mais bon..), on doit faire comme un "puzzle", pour trouver:

= 9x² + 6x + 1 - 16
= (3x + 1)² - 4²
= (3x + 1 + 4) (3x + 1 - 4)
= (3x + 5) (3x - 3)
= 3(3x + 5)(x - 1)
On a trouvé la bonne factorisation, attendue par le/la prof.
MAIS.. Un problème s'impose..

Pourquoi ne peut-on pas factoriser en faisant un "puzzle", mais avec les "x" cette fois?!? :id:
Je vous montre:

9x² + 6x - 15
= x² + 2x + 1 + x² + 2x + 1 + x² + 2x + 1 + 6x² - 18
= (x + 1)² + (x + 1)² + (x + 1)² + 6x² - 18
= 3 (x + 1)² + 6 (x² - 3)
= 3 (x + 1)² + 6 (x + 3)(x - 3)
= 3 [(x + 1)² + 2(x + 3)(x - 3)]

Mais, ce n'est pas la factorisation attendue!
Par contre, la démarche est tout à fait correcte.
Quelqu'un pourrait-il me dire l'erreur dans mon raisonnement (s'il y en a), ou sinon, comment continuer à partir de là?

Merci d'avance!

Une factorisation sert généralement à simplifier le calcul. Si je dois calculer 9x² + 6x - 15, ça peut être plus intéressant de calculer 3(3x + 5)(x - 1). Ou si je dois chercher 9x² + 6x - 15=0, ça peut être plus intéressant de chercher (3x + 5)(x - 1)=0.
Ta factorisation de folie est bonne... mais elle t'amène vers un résultat encore plus horrible. C'est là qu'on voit que les mathématiques peuvent servir à expliquer notre monde mais qu'elles peuvent aussi le dépasser et continuer leur propre chemin personnel en ne s'appuyant que sur elles-mêmes pour continuer. Toutefois, dans la réalité, les mathématiques doivent aussi faire de la place à la raison... :zen:
C'est comme si pour aller de Marseille à Lyon, tu prennes le bateau, passe Gibraltar, remonte sur Brest et redescende par Paris. Ca marche. Mais est-ce bien utile ?

par **Lostounet** » 03 Jan 2010, 18:04

Sve@r a écrit:Une factorisation sert généralement à simplifier le calcul. Si je dois calculer 9x² + 6x - 15, ça peut être plus intéressant de calculer 3(3x + 5)(x - 1). Ou si je dois chercher 9x² + 6x - 15=0, ça peut être plus intéressant de chercher (3x + 5)(x - 1)=0.
Ta factorisation de folie est bonne... mais elle t'amène vers un résultat encore plus horrible. C'est là qu'on voit que les mathématiques peuvent servir à expliquer notre monde mais qu'elles peuvent aussi le dépasser et continuer leur propre chemin personnel en ne s'appuyant que sur elles-mêmes pour continuer. Toutefois, dans la réalité, les mathématiques doivent aussi faire de la place à la raison... :zen:
C'est comme si pour aller de Marseille à Lyon, tu prennes le bateau, passe Gibraltar, remonte sur Brest et redescende par Paris. Ca marche. Mais est-ce bien utile ?

J'ai aimé ta réponse! :id: :id:

Le problème, c'est que tant que ma démarche est correcte, donc ce que j'ai obtenu est forcément juste aussi, et on peut par conséquent continuer pour trouver une réponse plus satisfaisante !

J'aimerais bien voir Gibraltar Brest et Paris, moi! :hein: :id:

@ Oscar: Un facteur commun?

par **benekire2** » 03 Jan 2010, 19:02

on te dira souvent dans les ds ou exos : factoriser en une expression de termes de degré 1 ...

et puis c'est pas 'vraiment' factorisé il reste une somme ...

par **Lostounet** » 03 Jan 2010, 19:12

benekire2 a écrit:
et puis c'est pas 'vraiment' factorisé il reste une somme ...

Je suis au courant de ça!

Mais comment continuer, c'est la question.

par **laquestion** » 03 Jan 2010, 19:56

je crois que ce que tu as entrepris ne peut marcher que si tu reviens au début pour utiliser une factorisation qui "marche".
il y a une façon qui marche à tous les coup (quand c'est possible) pour factoriser un binome ax^2 +bx +c
ax^2+bx+c= a(x^2+(b/a)x +c/a)=a[((x+2b/a)^2-(b/2a)^2) +c/a]
=a[(x+b/2a)^2-((racine (b^2-4ac))/2a)^2]
=a(x-(-b-racine(b^2-4ac))/2a)(x-(-b+racine(b^2-4ac))/2a)

par **Lostounet** » 03 Jan 2010, 21:24

Oui, delta, et toutes les formules.. Mais ce n'est pas du programme de 3ème..

par **fatal_error** » 03 Jan 2010, 21:29

jrebondis dessus parce que c'est assez marrant.

C'est fréquent (même en sup) de voir des gens qui utilisent un "Delta" pour factoriser x^2-1 = 0

La méthode que t'as montrée laquestion est tout ce qu'il y a de niveau collège. 3 eme im semble qu'on apprend a^2-b^2=(a-b)(a+b)
Tu te débrouilles pour faire apparaitre une différence de carrées que tu sais factoriser!

par **Lostounet** » 03 Jan 2010, 21:38

lol
En 3ème, on nous donne des choses préparées, faites pour être factorisées.
Comme x² + 2x + 1, 2x + 4, AU PIRE DES CAS (et presque jamais), un: 9x² + 6x - 3.

par **ffpower** » 03 Jan 2010, 21:53

Si tu sais faire 9x²+6x-3, alors tu sais faire ax²+bx+c...

par **Anonyme** » 04 Jan 2010, 14:35

ffpower a écrit:Si tu sais faire 9x²+6x-3, alors tu sais faire ax²+bx+c...

sauf que 9x²+6x-3 a une racine évidente et c'est ca qui permet en 3eme de factoriser.

par **fatal_error** » 04 Jan 2010, 15:06

toujours est-il que on peut factoriser un trinome du second degré a l'aide des identités remarquables qu'on apprend en 3eme.

Comme ca semble etre la couleur des postes, savoir factoriser n'importe quel trinome a l'aide des identités remarquables qu'on apprend :
NON, ca ne sert a rien en troisieme, et NON ca ne sert a rien au lycée (ou on applique juste un résultat (donné par laquestion)).

Mais c'est parfaitement faisable et abordable pour un troisieme. Et la démarche est assez intéressante, on la retrouve quand même dans la réduction des formes quadratiques.

Ca sera pas demandé. Mais vu que l'idée du poste c'est de chercher une facto, ya une méthode qui est donnée alors pourquoi s'en priver.

par **Skullkid** » 04 Jan 2010, 15:30

Salut, comme dit dans les messages ci-dessus, il y a une façon canonique (elle porte bien son nom) de factoriser les trinômes, et c'est la seule qui marche à coup sûr. La voie que tu as choisie de suivre pour arriver à ta "factorisation folle" ne permet pas d'aller plus loin, à moins de tout re-développer.

Dans le même genre, quand on souhaite étudier le comportement en l'infini d'une fraction rationnelle de degré 1 en première-terminale, par exemple

, on écrit

d'où

, et on obtient une forme très pratique pour l'étude souhaitée. Mais j'aurais tout aussi bien pu écrire

, qui est correct, mais qui ne mène à rien... Et bon courage pour retrouver la forme sympathique à partir de là sans réunir les deux fractions ni utiliser la méthode de décomposition que j'ai appliquée à f initialement...

Bref, pour un calcul donné, y a souvent qu'une seule façon astucieuse de le manipuler (dans le cas du trinôme et des fractions rationnelles y a même des théorèmes cachés derrière), et les autres méthodes finissent en général par tourner en rond ou par bloquer.

par **Lostounet** » 04 Jan 2010, 17:11

En fait, ça permet d'ouvrir de nouveaux "horizons", et d'avoir une autre conception des choses. Et peut être qu'en se penchant plus là dessus, on pourra découvrir quelque chose d'intéressant (je pense que ça a surement été fait par quelqu'un, je ne vais pas changer le monde des mathématiques sur un forum online).

Je vous montre ma toute nouvelle création:

4x² + 4x + 1 - 81
{Je vous épargne les étapes de la factorisation}
Donne un 4(x + 4)(x + 5).
Mais en suivant la méthode lostounet, avec un peu de chance:

x² + 2x + 1 + x² + 2x + 1 + x² - 9 + x² - 72
(x + 1)² + (x + 1)² + (x - 3)(x + 3) + x² - 9 - 63
2(x + 1)² + (x - 3)(x + 3) + (x - 3)(x + 1) - 63
2(x + 1)² + 2(x - 3)(x + 3) - 63

2(x + 1)² - 63 + 2(x - 3)(x + 3)
= 2 (x + 1)² - 2*31.5 + 2 (x - 3)(x + 3)
= 2 [(x + 1)² - 31.5 + (x - 3)(x + 3)]
= 2 [(x + 1)² -

31.5² + (x - 3)(x + 3)]
= 2 [(x + 1 -

31.5)(x + 1 +

31.5) + (x - 3)(x + 3)]
= 2 [(x + (1² -

;)31.5)(x + 1 +

31.5) + (x - 3)(x + 3)]
= 2 [(x + (1 +

31.5)(1 -

31.5))(x + 1 +

31.5) + (x - 3)(x + 3)]

(Désolé, je ne sais pas faire du LaTex, ça ne m'a jamais tenté)

DONC on a par conséquent:
2 [(x + (1 +

31.5)(1 -

31.5))(x + 1 +

31.5) + (x - 3)(x + 3)]
= 4(x + 4)(x + 5)

CONCLUSION:
[(x + (1 +

31.5)(1 -

31.5))(x + 1 +

31.5) + (x - 3)(x + 3)]:2
= (x + 4)(x + 5)

On peut déduire qu'en prenant un nombre, en lui ajoutant 4, et en multipliant le mélange avec ce nombre augmenté de 5, c'est la même chose qu'effectuer:

La moitié de : La somme de ce nombre, avec le produit de la somme de 1 +

31.5 avec son conjugué et avec la somme de ce nombre, avec 1 +

31.5, ajouté au produit de ce nombre augmenté de 3, multiplié par son conjugué.

Bizarre le

31.5! Mais vous voyez un peu, c'est pour cela que j'ai proposé le problème du début, je me suis peut-être mal expliqué.

Je ne suis qu'en train de vous montrer comment je pense

Je suis fou?!

par **Anonyme** » 04 Jan 2010, 18:47

Lostounet a écrit:x² + 2x + 1 + x² + 2x + 1 + x² - 9 + x² - 72
(x + 1)² + (x + 1)² + (x - 3)(x + 3) + x² - 9 - 63
2(x + 1)² + (x - 3)(x + 3) + (x - 3)(x + 1) - 63
2(x + 1)² + 2(x - 3)(x + 3) - 63

Il me semble que ce qui est en rouge est faux.

par **benekire2** » 04 Jan 2010, 18:49

je trouve que c'est bien de voir quelqu'un qui cherche déjà en troisième alors même si ça mène a rien comme ici c'est toujours bien :)

Pour le latex, tu en aura très vite l'utilité lostounet ... tu t'y fera ...

Enfin, il y a toujours un moyen de factoriser un trinome du second degré ( factorisable) avec les I R, et d'ailleurs on avait un post très complet là dessus!!

D'ailleurs les formules delta, et les racines ... sont directement démontrables par des identités remarquables , donc la question ne se pose même pas en fait.

Voilà, franchement très bonne initiative que tu prend.

par **Lostounet** » 04 Jan 2010, 19:47

@ Qmath: Non, en fait, c'est une faute de frappe. Comme x² - 9 est un (x + 3)(x - 3), et qu'il y a un (x - 3)(x + 3) avant, alors (x + 3)(x - 3) + (x + 3)(x - 3) = 2(x + 3)(x - 3).
J'aurais pas du mettre (x + 3)(x - 1).

Bene'': Oui :)
Ça ne mène pas à grand chose, mais je le fais quand-même!
Ah bon!? Delta est démontrable avec des identités? J'aimerais bien voir ! :zen:

par **Skullkid** » 04 Jan 2010, 20:41

Les formules qu'on apprend au lycée avec le discriminant et compagnie sont en fait un raccourci pour ne pas avoir à factoriser manuellement le trinôme à chaque fois.

Vu que tu aimes te balader dans les calculs, essaye donc de le montrer, c'est à ta portée ! Soit

avec a non nul, essaye de factoriser f(x). Et si tout se passe bien...

Un indice : par un heureux hasard (!) la méthode de factorisation a bien des points communs avec celle que tu exposes au début de ton premier post.

par **benekire2** » 05 Jan 2010, 15:56

en fait tu met a en facteur, puis tu fais apparaitre une identité remarquable de manière forcée et enfin une deuxième identité remarquable, et tu verra apparaître les solutions de l'équation.

Enfin, essaye c'est à ta porté comme le dit skullkid,

PS:

Lostounet, je t'envoi les feuilles de géométrie ce week-end normalement !

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