Calculs d'éspérance

[Louise2607]

Bonjour,
Je me pose deux questions:
Comment montrer que pour une variable aléatoire X:
E(X²)>= (E(abs(X)))²

J'ai essayé avec l'inégalité de Jensen mais n'aboutis pas. Cette dernière me permets d'écrire:
(EX)²<=E(X²) et que abs(EX)<=E(abs(X)) et de plus on a (EX)²=(abs(EX))²
Mais ceci ne me permets de conclure....

Ma deuxième question concerne le calcul de l'ésperance de la variable carrée d'une loi normale Y -> N(0,1)
E(Y²)??

Le calcul se ramène à l'intégrale ( a un coéfficient près ) int(x²*exp(-x²/2),x=-infinity..+infinity)...
et je ne vois pas comment continuer le calcul...

Merci d'avance de vos réponses

[sniperamine]

Bonjour,
Je me pose deux questions:
Comment montrer que pour une variable aléatoire X:
E(X²)>= (E(abs(X)))²

J'ai essayé avec l'inégalité de Jensen mais n'aboutis pas. Cette dernière me permets d'écrire:
(EX)² N(0,1)
E(Y²)??

Le calcul se ramène à l'intégrale ( a un coéfficient près ) int(x²*exp(-x²/2),x=-infinity..+infinity)...
et je ne vois pas comment continuer le calcul...

Merci d'avance de vos réponses

pour la 2éme question tu as la variance et l'espérance de la variable Y et de plus tu as V(X)=E(X²)-E²(X) donc voilà tout est réglé !!

[fatal_error]

salut,

pour l'esperance

On a deux manières. La premiere avec la variance :

or si suit on a et
du coup


La deuxieme methode c'est en utilisant la composition :

avec la densité de
dans notre cas, on pose et on a
cqui donne ton integrale

i suffit de faire une IPP

Entre crochet sfait 0 et l'autre integrale, c'est la densité d'une loi normale sur R et ca vaut 1 par definition(a la constante pres que t'as virée)!

sauf erreur

[Louise2607]

Merci pour l'intégrale, il suffisait d'utiliser la variance.
Cependant pour montrer l'inégalité E(X²)>= (E(abs(X)))² je suppose connue seulement l'inégalité de Jensen...et ne vois toujours pas comment faire...
Merci

[sniperamine]

Merci pour l'intégrale, il suffisait d'utiliser la variance.
Cependant pour montrer l'inégalité E(X²)>= (E(abs(X)))² je suppose connue seulement l'inégalité de Jensen...et ne vois toujours pas comment faire...
Merci

On sait bien que E²(XY)<=E(X²)E(Y²)

[Louise2607]

Je suis désolé... :) mais je ne vois pas en quoi l'inégalité à montrer est évidente, même en utilisant Cauchy Schwarz?

[sniperamine]

Je suis désolé... mais je ne vois pas en quoi l'inégalité à montrer est évidente, même en utilisant Cauchy Schwarz?

tu poses Z=aX-Y tu calcules E(Z²) c'est un trinôme en a il a lieu si le discriminant est négatif ou égale à 0 puisque E(Z²) est positif donc tu en déduis l'inégalité que je t'ai proposée après pour en déduire la tienne c'est presque évident essaies de conclure !!

[Louise2607]

Avec Cauchy Schwarz, et Y=1, on a E(X²)>= (EX)² ( en gros il s'agit de Jensen), mais pour montrer mon inégalité il faudrait avoir (EX)²>=(E(abs(X)))² qui est pour moi pas évident ( voir faux ).

[Louise2607]

Merci !!! j'ai ENFIN trouvé...

[sniperamine]

Merci !!! j'ai ENFIN trouvé...

je t'en prie !! ( désolé j'étais pas là; )