Calculs d'éspérance
Réponses à toutes vos questions après le Bac (Fac, Prépa, etc.)
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Louise2607
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par Louise2607 » 03 Jan 2010, 12:37
Bonjour,
Je me pose deux questions:
Comment montrer que pour une variable aléatoire X:
E(X²)>= (E(abs(X)))²
J'ai essayé avec l'inégalité de Jensen mais n'aboutis pas. Cette dernière me permets d'écrire:
(EX)²<=E(X²) et que abs(EX)<=E(abs(X)) et de plus on a (EX)²=(abs(EX))²
Mais ceci ne me permets de conclure....
Ma deuxième question concerne le calcul de l'ésperance de la variable carrée d'une loi normale Y -> N(0,1)
E(Y²)??
Le calcul se ramène à l'intégrale ( a un coéfficient près ) int(x²*exp(-x²/2),x=-infinity..+infinity)...
et je ne vois pas comment continuer le calcul...
Merci d'avance de vos réponses
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sniperamine
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par sniperamine » 03 Jan 2010, 12:50
Louise2607 a écrit:Bonjour,
Je me pose deux questions:
Comment montrer que pour une variable aléatoire X:
E(X²)>= (E(abs(X)))²
J'ai essayé avec l'inégalité de Jensen mais n'aboutis pas. Cette dernière me permets d'écrire:
(EX)² N(0,1)
E(Y²)??
Le calcul se ramène à l'intégrale ( a un coéfficient près ) int(x²*exp(-x²/2),x=-infinity..+infinity)...
et je ne vois pas comment continuer le calcul...
Merci d'avance de vos réponses
pour la 2éme question tu as la variance et l'espérance de la variable Y et de plus tu as V(X)=E(X²)-E²(X) donc voilà tout est réglé !!
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fatal_error
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par fatal_error » 03 Jan 2010, 12:52
salut,
pour l'esperance
On a deux manières. La premiere avec la variance :
or si
suit
on a
et
du coup
La deuxieme methode c'est en utilisant la composition :
avec
la densité de
dans notre cas, on pose
et on a
cqui donne ton integrale
i suffit de faire une IPP
Entre crochet sfait 0 et l'autre integrale, c'est la densité d'une loi normale sur R et ca vaut 1 par definition(a la constante pres que t'as virée)!
sauf erreur
la vie est une fête
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Louise2607
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par Louise2607 » 03 Jan 2010, 13:08
Merci pour l'intégrale, il suffisait d'utiliser la variance.
Cependant pour montrer l'inégalité E(X²)>= (E(abs(X)))² je suppose connue seulement l'inégalité de Jensen...et ne vois toujours pas comment faire...
Merci
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sniperamine
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par sniperamine » 03 Jan 2010, 13:10
Louise2607 a écrit:Merci pour l'intégrale, il suffisait d'utiliser la variance.
Cependant pour montrer l'inégalité E(X²)>= (E(abs(X)))² je suppose connue seulement l'inégalité de Jensen...et ne vois toujours pas comment faire...
Merci
On sait bien que E²(XY)<=E(X²)E(Y²)
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Louise2607
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par Louise2607 » 03 Jan 2010, 13:34
Je suis désolé... :) mais je ne vois pas en quoi l'inégalité à montrer est évidente, même en utilisant Cauchy Schwarz?
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sniperamine
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par sniperamine » 03 Jan 2010, 13:37
Louise2607 a écrit:Je suis désolé...
mais je ne vois pas en quoi l'inégalité à montrer est évidente, même en utilisant Cauchy Schwarz?
tu poses Z=aX-Y tu calcules E(Z²) c'est un trinôme en a il a lieu si le discriminant est négatif ou égale à 0 puisque E(Z²) est positif donc tu en déduis l'inégalité que je t'ai proposée après pour en déduire la tienne c'est presque évident essaies de conclure !!
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Louise2607
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par Louise2607 » 03 Jan 2010, 13:58
Avec Cauchy Schwarz, et Y=1, on a E(X²)>= (EX)² ( en gros il s'agit de Jensen), mais pour montrer mon inégalité il faudrait avoir (EX)²>=(E(abs(X)))² qui est pour moi pas évident ( voir faux ).
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Louise2607
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par Louise2607 » 03 Jan 2010, 14:42
Merci !!! j'ai ENFIN trouvé...
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sniperamine
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par sniperamine » 03 Jan 2010, 16:50
Louise2607 a écrit:Merci !!! j'ai ENFIN trouvé...
je t'en prie !! ( désolé j'étais pas là; )
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