Suites T°S

par **mydoudouitsk** » 02 Jan 2010, 20:33

Bonjour, je suis en train de faire un exo sur les suites j'ai fait les 3 premières questions mais la quatrième me pose problème pourriez vous m'aider?

Voici le sujet:

Soit f la fonction définie sur [0;2] par f(x)=(2x+1)/(x+1)

1; Etudier les variations de f sur l'intervelle I
Montrer que si x appartient a [1;2] alors f(x) appartient à [1;2]
----> fct strictement croissante d'après f'(x); f(1)= 3/2 f(2)=5/3 le tout appartient a [1;2] f est strictement croissante dc si x appartient a [1;2] alors f(x) appartient à [1;2].

2) a) (Un) et (Vn) sont deux suites définies sur N par:
U0=1 et Un+1= f(Un)
V0=2 et Vn+1=f(Vn)

d'après un graphique on conjecture que les deux suites converges vers une meme limite, que (Un) est croissante et que (Vn) est décroissante.

b) Montrer à l'aide d'un raisonnement par récurrence que:
Pour tout entier naturel n, 1<=Vn<=2
Pour tout entier naturel n, Vn+1<=Vn
On admettra que l'on peut démontrer de la meme façon que:
Pour tout entier naturel n, 1<=Un<=2
Pour tout entier naturel n, Un<=Un+1

-----> I- VO=2 dc vrai
H- Posons Vn appartient à [1;2] on sait que Vn+1= f(Vn)
Si x appartient a [1;2] alors f(x) appartient à [1;2] donc on peut donc dire que si Vn appartient à [1;2] alors Vn+1 appartient à [1;2].

dc Vn appartient à [1;2]

I- V0=2 V1=1,66 Donc vrai

H- Posons Vn+1<= Vn, f(Vn+2)on veut montrer que f(Vn+1)on sait que f est trictement croissante et que Vn+1On peut donc dire que f(Vn+1)donc f(Vn+2)
Donc Vn+1< Vn, la suite (Vn) est donc décroissante.

c) Montrer que pour tout entier naturel n,

Vn+1-Un+1= (Vn-Un)/(Vn+1)(Un+1)

---> je l'ai fait

En déduire que pour tout entier naturel n, Vn-Un>= 0 et:
Vn+1 - Un+1 <= 1/4(Vn-Un)

---> je ne vois pas comment

d) Montrer que pour tout entier naturel n,
Vn - Un <= (1/4)^n

e) Montrer que les suites (Un) et (Vn) convergent vers un meme réel lapha dont on donnera la valeur exacte.

Pourriez vous m'aider pour les dernières questions et corriger si necessaire les précédentes?

Merci d'avance passez une agréable soirée et Bonne année à tous!

par **Sa Majesté** » 02 Jan 2010, 21:27

mydoudouitsk a écrit:c) Montrer que pour tout entier naturel n,

Vn+1-Un+1= (Vn-Un)/(Vn+1)(Un+1)

---> je l'ai fait

En déduire que pour tout entier naturel n, Vn-Un>= 0 et:
Vn+1 - Un+1 je ne vois pas comment

Indice : Un et Vn sont supérieurs à 1

par **mydoudouitsk** » 02 Jan 2010, 22:41

oui ils sont supérieurs a 1 mais comment prouver que Vn est supérieur a Un? car meme s'ils sont tous les deux supérieurs a 1 sans cette information on ne peut pas en déduire que Vn- Un>= 0, si?

par **BymZ** » 02 Jan 2010, 22:57

Pour le c)

Tu sais que Vn - Un > 0 pour ton n et le dénominateur est > (ou égal) à 4.

Tu conlclues

par **mydoudouitsk** » 02 Jan 2010, 23:05

mais il faut le prouver que Vn - Un >0 et je ne sais pas comment, pourriez vous m'aider?

par **BymZ** » 02 Jan 2010, 23:06

Je pense que tu peux le faire par récurrence

par **mydoudouitsk** » 02 Jan 2010, 23:13

justement je n'y arrive pas, je ne sais pas comment le prouver par récurrence, mais apres comment savez vous que le dénominateur est > ou égal a 4? parce que si je développe et que je remplace Un et Vn par 2 je ne trouve pas 4.

par **Sa Majesté** » 03 Jan 2010, 13:49

Indice n°2 : Un et Vn sont supérieurs à 1 donc

et

par **mydoudouitsk** » 03 Jan 2010, 14:00

excusez moi je ne comprends pas, on ne cherche pas

mais

. Pardonnez moi pour cette possible incompréhension.

Donc je ne comprends toujours pas comment on peut prouver que Vn> ou = à Un et comment le dénominateur peut être > ou égal à 4.

par **Sa Majesté** » 03 Jan 2010, 14:04

mydoudouitsk a écrit:excusez moi je ne comprends pas, on ne cherche pas mais . Pardonnez moi pour cette possible incompréhension.

OK mais dans l'expression

on a bien

et

au dénominateur

par **mydoudouitsk** » 03 Jan 2010, 14:38

Ah oui effectivement! Je m'excuse alors, je comprends mieux du coup!

Pour la récurrence pour prouver que Vn> ou = à Un, est ce que les deux suites converge vers 1,6 avec la même progression? je ne vois pas comment prouver que Vn> ou = à Un vu que l'on sait juste que l'une est croissante et l'autre décroissante et même si U0 et V0 sont différents cela ne prouve pas que pour tout n elle Vn> ou = à Un vu que l'on ne sait pas si elles convergent vers une même limite.

par **Sa Majesté** » 03 Jan 2010, 14:41

A partir du moment où l'énoncé te dit "En déduire que", ça signifie qu'il faut partir du résultat que tu viens de montrer
Et avec une récurrence, ça marche très facilement

par **mydoudouitsk** » 03 Jan 2010, 15:18

effectivement c'est très simple, je continue et j'essaie de faire la suite.

Je vous remercie pour votre aide, et pardonnez mon incompréhension.

par **mydoudouitsk** » 03 Jan 2010, 15:58

J'ai démontré que

Et je dois maintenant démontrer que (Un) et (Vn) converge vers un même réel dont je dois donner la valeur.

Avec la formule précédente j'ai dis que quand n vaut l'infini alors Vn-Un tend vers 0 donc les suites (Un) et (Vn) convergent vers une même limite grâce au théorème des gendarmes.
En revanche pour trouver le réel, je ne vois pas du tout comment faire grâce à ce qu'on a trouvé précédemment.

par **mydoudouitsk** » 03 Jan 2010, 18:45

quelqu'un pourrait m'aider?

par **Sa Majesté** » 03 Jan 2010, 21:30

ça te dit qqch ?

par **mydoudouitsk** » 03 Jan 2010, 21:52

oui, merci finalement j'avais trouvé, mais j'ai un autre exercice qui me pose problème. mais merci quand même!

Passez une bonne fin de soirée.

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